ท่องแดนหมากรุกไปกับ "Knight's Tour Problem"

 

บทความวันนี้จะชวนทุกคนมาท่องเส้นทางของม้าหมากรุก (Knight) ในปัญหาที่เรียกว่า "Knight's Tour Problem" ผ่านการเขียนโปรแกรมด้วยภาษา JavaScript และในปลายทางของการเดินทางครั้งนี้ พวกเราจะได้สำรวจความลึกของ Algorithm นี้ว่าเหมาะสมที่จะแก้ปัญหาใดบ้าง พร้อมด้วยตัวอย่าง Code ประกอบการอธิบาย นอกจากนี้เรายังจะพาไปสำรวจในโลกจริงเพื่อเห็นภาพการใช้งาน และท้ายที่สุดคือการวิเคราะห์ความซับซ้อน (Complexity) และข้อดีข้อเสียของ Algorithm นี้ มาร่วมกันแก้ไขปริศนาทางคณิตศาสตร์ที่ท้าทายนี้กันเถอะ!

 

ปัญหา Knight's Tour คืออะไร?

Knight's Tour เป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่มีประวัติยาวนานตั้งแต่กลางศตวรรษที่ 8 ซึ่งเป็นการคิดหาวิธีให้ม้าหมากรุกเดินทางไปยังช่องทั้งหมดบนกระดานหมากรุกโดยไม่ซ้ำช่องใดช่องหนึ่ง

วิธีการเข้าใจ Knight's Tour

1. สมมติว่ากระดานหมากรุกมีขนาด NxN ช่อง

2. ม้าหมากรุกจะเริ่มต้นที่จุดใดจุดหนึ่งบนกระดาน

3. ม้าหมากรุกสามารถเคลื่อนที่เป็นรูปตัว L ได้ นั่นคือ เคลื่อนไป 2 ช่องในทิศทางนึงและ 1 ช่องในทิศทางตั้งขึ้นกัน

4. เป้าหมายคือให้ม้าหมากรุกเดินทางผ่านทุกช่องบนกระดานโดยไม่ซ้ำช่อง

 

อัลกอริทึมในการแก้ปัญหา Knight's Tour

การแก้ไขปัญหา Knight's Tour นั้นมีหลากหลายวิธี โดยอัลกอริทึมที่ค่อนข้างที่จะได้รับความนิยม ได้แก่

1. Brute Force Algorithm: ลองทุกๆ ความเป็นไปได้จนกว่าจะหาคำตอบ

2. Warnsdorff’s Rule: เลือกการเคลื่อนไหวตามจำนวนการเคลื่อนที่ที่ม้าสามารถทำได้น้อยที่สุดในอนาคต

3. Divide and Conquer: แบ่งกระดานเป็นส่วนย่อยๆ แก้ปัญหาแต่ละส่วนแล้วนำมารวมกัน

Code ตัวอย่าง JavaScript สำหรับ Knight's Tour

นี่คือตัวอย่างโค้ดภาษา JavaScript สำหรับการหารูทง่ายๆ ด้วยวิธี Brute Force:

function isSafe(x, y, board) {
  return (x >= 0 && x < N && y >= 0 && y < N && board[x][y] === -1);
}

function printSolution(n, board) {
  for (let x = 0; x < n; x++) {
    for (let y = 0; y < n; y++) {
      process.stdout.write(board[x][y] + " ");
    }
    console.log();
  }
}

function solveKT() {
  const board = Array(N).fill().map(() => Array(N).fill(-1));

  // ม้าหมากรุกเริ่มที่จุด (0,0) และเดินเคลื่อนที่ครั้งแรก
  board[0][0] = 0;

  // การเคลื่อนที่ของม้าในแต่ละครั้ง (x, y)
  const moveX = [2, 1, -1, -2, -2, -1, 1, 2];
  const moveY = [1, 2, 2, 1, -1, -2, -2, -1];

  // ใช้การลองผิดลองถูกและกลับไปยังก้าวก่อนหน้าหากรูทล้มเหลว (backtracking)
  if (!solveKTUtil(0, 0, 1, board, moveX, moveY)) {
    console.log("Solution does not exist");
  } else {
    printSolution(N, board);
  }
}

function solveKTUtil(x, y, movei, board, moveX, moveY) {
  let k, next_x, next_y;
  if (movei === N * N) {
    return true;
  }

  // ทดลองทุกการเคลื่อนที่ของม้าจากตำแหน่งปัจจุบัน
  for (k = 0; k < 8; k++) {
    next_x = x + moveX[k];
    next_y = y + moveY[k];
    if (isSafe(next_x, next_y, board)) {
      board[next_x][next_y] = movei;
      if (solveKTUtil(next_x, next_y, movei + 1, board, moveX, moveY)) {
        return true;
      } else {
        // backtracking
        board[next_x][next_y] = -1;
      }
    }
  }
  return false;
}

// สมมติว่ากระดานมีขนาด N=8
const N = 8;
solveKT();

โปรแกรมนี้จะพยายามค้นหาทางเดินของม้าหมากรุกรอบกระดานโดยใช้การลองผิดลองถูกจนกว่าจะพบคำตอบ

วิเคราะห์ความซับซ้อน (Complexity Analysis)

1. Brute Force: มีความซับซ้อนเชิงเวลา (Time Complexity) โดยทั่วไปอยู่ที่ O(N^2 * (8^(N^2))) เนื่องจากระดับความลึกของการดำเนินการค้นหา (Depth of search tree) คือ O(N^2) และมีสูงสุด 8 ทางเลือกสำหรับการเคลื่อนที่ในแต่ละครั้ง 2. Warnsdorff’s Rule: มีความซับซ้อนเชิงเวลาอยู่ที่ O(N^2)ซึ่งถือเป็นเวลาเฉลี่ยที่ดีกว่าสำหรับการแก้ปัญหานี้

Usecase ในโลกจริง

- การวิเคราะห์เส้นทางการเดินทหาร (Pathfinding in Military Operations): เช่นการคำนวณเส้นทางการเคลื่อนที่ของยานพาหนะหรือทหารบนภูมิประเทศที่มีมิติทางเดินมากมาย - แอปพลิเคชันโรบอต (Robotics Applications): การวางแผนเส้นทางการเคลื่อนที่ของหุ่นยนต์ในพื้นที่ที่มีข้อจำกัด

ข้อดีของ Algorithm

- การให้คำตอบที่สมบูรณ์ (Complete Solution): Brute Force Algorithm ให้คำตอบที่ครอบคลุมทุกๆ ความเป็นไปได้

- ความเรียบง่ายของ Warnsdorff’s Rule: เป็นวิธีที่มีโครงสร้างง่ายและเร็วในการหาคำตอบ

ข้อเสียของ Algorithm

- ความซับซ้อนของการคำนวณ: Brute Force มีความซับซ้อนของการคำนวณที่สูงหากใช้กับกระดานขนาดใหญ่ - ไม่มั่นใจในคำตอบ: สำหรับ Warnsdorff's Rule อาจจะไม่มั่นใจได้ว่าจะได้คำตอบเสมอไป

 

สรุป

Knight's Tour Problem ไม่เพียงแต่เป็นปัญหาท้าทายทางคณิตศาสตร์แต่ยังเป็นตัวอย่างของการประยุกต์ใช้ทฤษฎีกราฟในโลกจริง ทั้งนี้ก็ยังมีข้อจำกัดที่เราต้องพิจารณาขณะใช้อัลกอริทึมเหล่านี้ในแอปพลิเคชันของเรา

หากคุณสนใจที่จะขยายความรู้และทักษะในการศึกษาการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์แบบนี้ หรืออยากได้รับความรู้ที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นในด้านการเขียนโปรแกรม พวกเราที่ EPT (Expert-Programming-Tutor) พร้อมสนับสนุนการเรียนรู้ด้านการเขียนโปรแกรมของคุณด้วยหลักสูตรที่หลากหลาย ทั้งในระดับพื้นฐานและระดับสูง พร้อมตอบทุกข้อสงสัยและความท้าทายทางโปรแกรมมิ่งในทุก ๆ ด้าน!

 

 

หมายเหตุ: ข้อมูลในบทความนี้อาจจะผิด โปรดตรวจสอบความถูกต้องของบทความอีกครั้งหนึ่ง บทความนี้ไม่สามารถนำไปใช้อ้างอิงใด ๆ ได้ ทาง EPT ไม่ขอยืนยันความถูกต้อง และไม่ขอรับผิดชอบต่อความเสียหายใดที่เกิดจากบทความชุดนี้ทั้งทางทรัพย์สิน ร่างกาย หรือจิตใจของผู้อ่านและผู้เกี่ยวข้อง