ความเข้าใจพื้นฐานของเมธอดนิวตัน (Newton's Method)

เมธอดนิวตัน หรือเรียกอีกชื่อหนึ่งว่า การประมาณค่าด้วยวิธีนิวตัน-ราฟสัน (Newton-Raphson Method) เป็นหนึ่งในอัลกอริธึมทางคณิตศาสตร์ที่ใช้สมการพหุนามหรือฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆ เพื่อหาค่าราก (root) หรือค่าที่ทำให้ฟังก์ชันมีค่าเป็นศูนย์ โดยที่วิธีนี้ทำงานอย่างไร? มันอาศัยการเริ่มจากการทายค่าเริ่มต้น (initial guess) บางค่าและใช้สูตรต่อไปนี้เพื่อปรับปรุงค่านั้นให้เข้าใกล้ค่าจริงมากขึ้น:

x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)

ที่นี่

- x_n คือการทายค่าที่ `n` ซึ่งเราจะปรับปรุงเป็นค่า x_{n+1} ในการทายครั้งต่อไป

- f(x) คือฟังก์ชันที่เราต้องการหาค่าราก

- f'(x) คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันที่เราต้องการหาค่าราก

ตัวอย่าง code โดยใช้ภาษา C การใช้งานเมธอดนิวตัน:

#include 
#include 

double f(double x) {
    return pow(x, 3) - x - 2; // ตัวอย่างฟังก์ชัน x^3 - x - 2
}

double f_derivative(double x) {
    return 3 * pow(x, 2) - 1; // อนุพันธ์ของฟังก์ชัน, 3x^2 - 1
}

double newtonRaphson(double initial_guess) {
    double h = f(initial_guess) / f_derivative(initial_guess);
    while (fabs(h) >= 0.0001) {  // กำหนดเกณฑ์ความเที่ยงตรง
        h = f(initial_guess) / f_derivative(initial_guess);

        // ทำการอัปเดตค่า guess ใหม่
        initial_guess = initial_guess - h;
    }

    return initial_guess;
}

int main() {
    double initial_guess = -20;  // การทายค่าเริ่มต้น
    double root = newtonRaphson(initial_guess);

    printf("หนึ่งในรากของฟังก์ชันคือ: %lf\n", root);
    return 0;
}

หากพิจารณาเรื่องของการประยุกต์ใช้งานในชีวิตจริง, เมธอดนิวตันมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านต่างๆ เช่น การคำนวณค่าตัวเลขที่ซับซ้อนในวิศวกรรม, ทางด้านคณิตศาสตร์ทางการเงิน, และการวิเคราะห์การเคลื่อนไหวทางดาราศาสตร์ เป็นต้น

# วิเคราะห์ความซับซ้อน (Complexity) และข้อดีข้อเสีย

ความซับซ้อน (Complexity):

ข้อดี:

1. เมื่อฟังก์ชันมีคุณสมบัติที่เหมาะสมและค่าที่ทายเริ่มต้นอยู่ใกล้กับค่าจริง, อัลกอริธึมนี้มีความเร็วและแม่นยำสูง

2. ง่ายต่อการเขียนโค้ดและนำไปใช้

3. ต้องการการคำนวณน้อยกว่าวิธีอื่นๆ เมื่อมาถึงการหาค่าราก

ข้อเสีย:

1. ต้องการค่าที่ถูกต้องของอนุพันธ์ซึ่งบางครั้งอาจไม่ง่ายต่อการคำนวณ

2. หากค่าทายเริ่มต้นไม่ใกล้เคียงกับค่าจริง, อัลกอริธึมอาจไม่ได้ผลหรืออาจสร้างค่าที่ไม่เป็นที่ต้องการ

3. สำหรับบางฟังก์ชันที่ซับซ้อน, อาจต้องใช้การทำซ้ำหลายครั้งซึ่งอาจมีราคาแพงในแง่ของเวลาคำนวณ

เมื่อเรารู้จักกับเมธอดนิวตันแล้ว การเรียนรู้แนวคิดพื้นฐานของการเขียนโปรแกรมและคณิตศาสตร์ที่ EPT จะช่วยให้คุณได้เข้าใจและใช้งานอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพเช่นนี้ในการแก้ไขปัญหาต่างๆ ในทางแฮคคาเดมิกและในโลกของพวกเราได้อย่างถูกต้องและมีประสิทธิภาพ

หมายเหตุ: ข้อมูลในบทความนี้อาจจะผิด โปรดตรวจสอบความถูกต้องของบทความอีกครั้งหนึ่ง บทความนี้ไม่สามารถนำไปใช้อ้างอิงใด ๆ ได้ ทาง EPT ไม่ขอยืนยันความถูกต้อง และไม่ขอรับผิดชอบต่อความเสียหายใดที่เกิดจากบทความชุดนี้ทั้งทางทรัพย์สิน ร่างกาย หรือจิตใจของผู้อ่านและผู้เกี่ยวข้อง