ทำความรู้จักกับ Newton's Method ในการหาค่ารากด้วย TypeScript

Newton's Method เป็นอัลกอริธึมทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในการหาค่าราก (roots) ของฟังก์ชัน ซึ่งอัลกอริธึมนี้ถูกค้นพบโดยไอแซค นิวตันในศตวรรษที่ 17 คำว่า "ค่าราก" ในที่นี้หมายถึงค่าของ x ที่ทำให้ฟังก์ชัน f(x) มีค่าเท่ากับ 0

อัลกอริธึมของ Newton's Method

Newton's Method ทำงานโดยการเริ่มต้นจากค่าประมาณ (initial guess) x₀ และค่อยๆ ปรับค่าของ x ให้ใกล้เคียงกับค่ารากจริง โดยใช้อสมการที่อิงตามอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฟังก์ชันจะใช้สูตรดังนี้:

\[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]

- \( x_{n+1} \) คือค่าประมาณใหม่

- \( x_n \) คือค่าประมาณในรอบก่อนหน้า

- \( f(x_n) \) คือค่าของฟังก์ชันที่ x = xₙ

- \( f'(x_n) \) คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ x = xₙ

Use Case ในโลกจริง

ในชีวิตประจำวัน เราอาจจะใช้ Newton's Method ในการหาค่าที่ทำให้การคำนวณทางการเงินที่ซับซ้อน (เช่น การหาดอกเบี้ยที่จะต้องจ่าย) หรือแม้กระทั่งในวิศวกรรม เพื่อหาค่ารากของสมการที่ซับซ้อนที่ใช้ในการออกแบบ

ตัวอย่าง Code ด้วย TypeScript

 function newtonMethod(func: (x: number) => number,
                      derivative: (x: number) => number,
                      initialGuess: number,
                      tolerance: number = 1e-7,
                      maxIterations: number = 100): number | null {
    let x = initialGuess;
    for (let i = 0; i < maxIterations; i++) {
        const fx = func(x);
        const fpx = derivative(x);

        if (Math.abs(fx) < tolerance) {
            return x; // รากที่พบ
        }

        if (fpx === 0) {
            console.error("Derivate is zero. No solution found.");
            return null; // อนุพันธ์เป็นศูนย์ไม่สามารถคำนวณต่อไปได้
        }

        x = x - fx / fpx; // ปรับค่าด้วยสูตร Newton's Method
    }

    console.error("Max iterations reached. No solution found.");
    return null; // ไม่สามารถหาค่าราก
}

// ตัวอย่างการใช้
const func = (x: number) => x ** 2 - 4; // f(x) = x^2 - 4 (รากคือ 2 และ -2)
const derivative = (x: number) => 2 * x; // f'(x) = 2x

const root = newtonMethod(func, derivative, 3);
console.log(`Root: ${root}`); // คาดว่าจะได้รับค่าประมาณเป็น 2

วิเคราะห์ Complexity

ในการวิเคราะห์ความซับซ้อนของ Newton's Method จะเห็นว่าอัลกอริธึมนี้มีความซับซ้อนเวลาเป็น \(O(n)\) ในการทำซ้ำ แต่อย่างไรก็ตาม หากการเลือกค่าประมาณเริ่มต้นดี การหาค่ารากอาจเกิดขึ้นภายในไม่กี่รอบ โดยฟังก์ชันธรรมดาอาจไม่จำเป็นต้องใช้จำนวนรอบมากนัก

ข้อดีของ Newton's Method

ข้อเสียของ Newton's Method

สรุป

Newton's Method เป็นอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพในการหาค่ารากของฟังก์ชัน แต่ต้องใช้อย่างระมัดระวังในระดับที่มีความซับซ้อนหรือเมื่ออนุพันธ์ไม่ชัดเจน ก้าวแรกในการเรียนรู้เรื่องโปรแกรมมิ่งและคณิตศาสตร์นี้ อาจมีความท้าทาย แต่หากคุณสนใจในการศึกษาความรู้ที่ลึกซึ้งขึ้นเกี่ยวกับการเขียนโปรแกรมและการคำนวณทางคณิตศาสตร์ อย่าลืมว่าที่ EPT (Expert-Programming-Tutor) เรามีหลักสูตรที่พร้อมช่วยให้คุณเติบโตและกลายเป็นผู้เชี่ยวชาญในสายอาชีพนี้!

หมายเหตุ: ข้อมูลในบทความนี้อาจจะผิด โปรดตรวจสอบความถูกต้องของบทความอีกครั้งหนึ่ง บทความนี้ไม่สามารถนำไปใช้อ้างอิงใด ๆ ได้ ทาง EPT ไม่ขอยืนยันความถูกต้อง และไม่ขอรับผิดชอบต่อความเสียหายใดที่เกิดจากบทความชุดนี้ทั้งทางทรัพย์สิน ร่างกาย หรือจิตใจของผู้อ่านและผู้เกี่ยวข้อง