การหาค่า Approximations โดยใช้ Newton's Method ในภาษา Swift

 

 

บทนำ

การหาค่าตัวแปรที่เมื่อแทนค่าแล้วให้ได้ผลลัพธ์เป็นศูนย์ในสมการพีชคณิตมักเป็นปัญหาที่พบบ่อยในหลายด้าน เช่น ฟิสิกส์ วิศวกรรม และเศรษฐศาสตร์ เครื่องมือที่ใช้ในการหาค่าที่มีคุณภาพสูงเช่นนี้คือ Newton's Method หรือที่เรียกว่า Newton-Raphson Method ซึ่งได้รับการพัฒนาขึ้นเมื่อศตวรรษที่ 17 โดยนักคณิตศาสตร์ชื่อว่า ไอแซก นิวตัน (Isaac Newton)

ในบทความนี้เราจะมาเรียนรู้เกี่ยวกับ Newton's Method ว่าคืออะไร มันทำงานอย่างไร นอกจากนี้เราจะมีตัวอย่างโค้ดภาษา Swift เพื่อแสดงให้เห็นถึงการใช้งานตามตัวอย่างในโลกจริง

 

Newton's Method คืออะไร?

Newton's Method เป็นวิธีหนึ่งที่ใช้เพื่อหาจุดตัด (root) ของฟังก์ชัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการหา \(f(x)=0\) สำหรับฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องและสามารถอนุมานค่าของอนุพันธ์ได้ โดยปรกติแล้วจะแทนจุดเริ่มต้นที่เราเชื่อว่าจะมีการตัดอยู่ จากนั้นจะทำการคำนวณเพื่อให้เข้าใกล้ค่าที่แท้จริงมากขึ้น

หลักการทำงาน

1. เริ่มจากการเลือกค่าตั้งต้น \(x_0\)

2. คำนวณค่าฟังก์ชันที่จุดเริ่มต้น \(f(x_0)\) และอนุพันธ์ \(f'(x_0)\)

3. ใช้สูตรในการคำนวณค่าค่าใหม่:

\[

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

\]

4. ทำซ้ำขั้นตอนที่ 2 และ 3 จนกว่าค่าที่คำนวณได้จะไม่เปลี่ยนแปลงหรือไม่มีการปรับเปลี่ยนที่สำคัญ

 

ตัวอย่างโค้ดในภาษา Swift

ให้เรามาดูตัวอย่างโค้ดภาษา Swift ที่ใช้ Newton's Method ในการหาค่าของสมการ \(f(x) = x^2 - 2\) ซึ่งเราต้องการหาค่าของ \(\sqrt{2}\):

 import Foundation

func f(_ x: Double) -> Double {
    return x * x - 2
}

func fPrime(_ x: Double) -> Double {
    return 2 * x
}

func newtonsMethod(initialGuess: Double, tolerance: Double, maxIterations: Int) -> Double? {
    var x = initialGuess
    for _ in 0..<maxIterations {
        let nextX = x - f(x) / fPrime(x)

        // ตรวจสอบความต่าง หากค่าต่างกันน้อยกว่าความแม่นยำที่กำหนด
        if abs(nextX - x) < tolerance {
            return nextX
        }

        x = nextX
    }
    return nil
}

let result = newtonsMethod(initialGuess: 1.0, tolerance: 0.00001, maxIterations: 100)
if let result = result {
    print("ค่า approximated ของ √2 คือ \(result)")
} else {
    print("ไม่สามารถหาค่าได้ภายในจำนวนรอบที่กำหนด")
}

 

Use Cases ในโลกจริง

1. การคำนวณทางวิศวกรรม: ในวิศวกรรมโครงสร้าง การหาค่าแรงที่แตกต่างกันในโครงสร้างอาจต้องใช้ Newton's Method เพื่อคำนวณค่าที่เหมาะสม 2. วิทยาศาสตร์ทางการเงิน: การหาค่าที่ตอบสนองราคาหรือการวิเคราะห์โมเดลการเงินอาจต้องใช้การหาค่าที่ช่วยในการตัดสินใจ 3. ฟิสิกส์: การวิเคราะห์ระบบฟิสิกส์เช่นการเคลื่อนที่ของวัตถุในที่ที่มีแรง

 

วิเคราะห์ Complexity

Complexity ของ Newton's Method ขึ้นอยู่กับฟังก์ชันที่ใช้ โดยทั่วไปจะมี complexity ที่ดีคือ \(O(n)\) ซึ่ง \(n\) เป็นจำนวนครั้งที่ต้องทำการ iteration โดยแต่ละรอบจะเป็นการคำนวณฟังก์ชันและอนุพันธ์ หากฟังก์ชันมีความมีกิ่งที่กราฟจะทำให้ความเร็วลดลง อาจเกิดการไม่ converge ได้

 

ข้อดีและข้อเสีย

ข้อดี:

- ความเร็วในการหาค่าสูง ถ้าฟังก์ชันมีความเป็นเชิงเส้น

- ประสิทธิภาพสูงในการแก้ปัญหาหลายตัวแปร

ข้อเสีย:

- อาจไม่ converge ถ้าค่าตั้งต้นไม่ดีหรือฟังก์ชันมีความซับซ้อน

- ต้องการค่าวัฏจักรที่ค่อนข้างสูง และการหาอนุพันธ์

 

สรุป

Newton's Method คือวิธีที่มีประสิทธิภาพในการหาจุดตัด (root) ของฟังก์ชัน โดยเรามีตัวอย่างโค้ดภาษา Swift ที่ใช้ในการทำงานอย่างชัดเจน แม้ว่าวิธีนี้จะมีข้อดีหลายอย่าง แต่เราก็ต้องระมัดระวังในกรณีที่ค่าตั้งต้นไม่เหมาะสม ซึ่งในสถานการณ์เหล่านี้ อาจมีทางเลือกที่ดีกว่า

หากท่านสนใจที่จะเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับการเขียนโปรแกรมและเทคนิคต่าง ๆ ในการพัฒนาโปรแกรม ท่านสามารถเข้าเรียนที่ EPT (Expert-Programming-Tutor) ที่นี่เราจะมีการสอนโปรแกรมมิ่งในแนวทางที่เข้าใจง่ายและมีประสิทธิภาพ ที่จะทำให้ท่านเป็นนักเขียนโปรแกรมมืออาชีพในอนาคต!

 

 

หมายเหตุ: ข้อมูลในบทความนี้อาจจะผิด โปรดตรวจสอบความถูกต้องของบทความอีกครั้งหนึ่ง บทความนี้ไม่สามารถนำไปใช้อ้างอิงใด ๆ ได้ ทาง EPT ไม่ขอยืนยันความถูกต้อง และไม่ขอรับผิดชอบต่อความเสียหายใดที่เกิดจากบทความชุดนี้ทั้งทางทรัพย์สิน ร่างกาย หรือจิตใจของผู้อ่านและผู้เกี่ยวข้อง