วิธีของนิวตัน (Newton's Method) และการใช้ภาษา COBOL ในการประมวลผล

 

 

ทำความรู้จักกับวิธีของนิวตัน

วิธีของนิวตัน (Newton's Method) หรือที่รู้จักกันในชื่อ "Newton-Raphson Method" เป็นหนึ่งในอัลกอริธึมที่ใช้ในการหาค่ารากของสมการซึ่งมีประสิทธิภาพสูงในการประมวลผล โดยเฉพาะในกรณีที่ฟังก์ชันที่ต้องการหาค่ารากมีความเป็นต่อเนื่องและมีอนุพันธ์ที่สามารถหาค่าได้ อัลกอริธึมนี้สามารถนำไปใช้ในการหาค่า "x" ในสมการ f(x) = 0 ซึ่งถ้าหากแสดงวิธีการอย่างง่าย ๆ จะมีขั้นตอนดังนี้

1. เริ่มต้นด้วยค่าคาดการณ์เริ่มต้น (x₀)

2. คำนวณค่าฟังก์ชัน f(x₀) และอนุพันธ์ f'(x₀)

3. ปรับปรุงค่าคาดการณ์โดยการใช้สูตร:

\[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]

4. ทำซ้ำขั้นตอนนี้จนกว่าจะได้ค่าที่ใกล้เคียงกับค่ารากที่ต้องการ

 

ข้อดีและข้อเสียของวิธีของนิวตัน

ข้อดี

- รวดเร็ว: วิธีนี้มีอัตราการหาค่ารากที่รวดเร็วมากเมื่ออยู่ใกล้ค่ารากที่แท้จริง - คำนวณง่าย: การใช้งานสูตรค่อนข้างตรงไปตรงมา ทำให้สะดวกในการเขียนโค้ดและประมวลผล

ข้อเสีย

- ต้องการอนุพันธ์: ฟังก์ชันต้องมีอนุพันธ์ที่สามารถคำนวณได้ ณ จุดที่กำหนด - ความต้านทานต่อการเริ่มต้น: หากเลือกค่าคาดการณ์เริ่มต้นที่ไม่ดี อาจจะไปหาค่าที่ผิดหรือวนลูปไม่สิ้นสุด

 

Use Case ในโลกจริง

วิธีของนิวตันมักถูกใช้ในหลากหลายสาขาเช่นวิศวกรรม, ฟิสิกส์, และการเงิน เช่น การหาค่าดอกเบี้ยที่เหมาะสมในโมเดลการเงิน หรือแม้แต่กราฟิก ก็มีการใช้วิธีนี้ในการคำนวณพิกัดต่าง ๆ ในฟังก์ชันต่าง ๆ

 

ตัวอย่างโค้ดในภาษา COBOL

ด้านล่างนี้คือโค้ดตัวอย่างที่ใช้ปรับปรุงค่ารากโดยการใช้วิธีของนิวตันในภาษา COBOL:

        IDENTIFICATION DIVISION.
       PROGRAM-ID. NewtonMethod.

       ENVIRONMENT DIVISION.

       DATA DIVISION.
       WORKING-STORAGE SECTION.
       01  X-INITIAL       PIC 9(4)V99 VALUE 2.0.
       01  X-NEXT         PIC 9(4)V99.
       01  EPSILON        PIC 9(4)V99 VALUE 0.0001.
       01  MAX-ITERATIONS PIC 9(4) VALUE 100.
       01  I              PIC 9(4) VALUE 0.

       PROCEDURE DIVISION.
       PERFORM UNTIL I > MAX-ITERATIONS
           MOVE X-INITIAL TO X-NEXT
           COMPUTE X-NEXT = X-INITIAL - (FUNCTION F(X-INITIAL) / FUNCTION F-PRIME(X-INITIAL))
           DISPLAY 'Iteration: ' I ', X: ' X-NEXT
           IF FUNCTION ABS(X-NEXT - X-INITIAL) < EPSILON
               DISPLAY 'Root found: ' X-NEXT
               EXIT PERFORM
           END-IF
           MOVE X-NEXT TO X-INITIAL
           ADD 1 TO I
       END-PERFORM.

       FUNCTION-ID. F.
       LINKAGE SECTION.
       01  X     PIC 9(4)V99.
       PROCEDURE DIVISION USING X.
           RETURN X * X - 2.  *> Example: f(x) = x^2 - 2
       END FUNCTION.

       FUNCTION-ID. F-PRIME.
       LINKAGE SECTION.
       01  X     PIC 9(4)V99.
       PROCEDURE DIVISION USING X.
           RETURN 2 * X.  *> f'(x) = 2*x
       END FUNCTION.
       STOP RUN.

 

การวิเคราะห์ Complexity

ความซับซ้อนของวิธีของนิวตันมีดังนี้:

- เวลาภายใน: วิธีนี้มีความซับซ้อนในเวลา O(n) สำหรับ n = จำนวนการวนรอบที่ใช้งาน แต่ในทางทฤษฎี มันมีอัตราการเชื่อมต่อที่เร็วกว่า เมื่อไหร่ที่สามารถใช้งานได้ใกล้เคียงกับค่ารากจริง - พื้นที่: โดยปกติจะใช้พื้นที่ O(1) เพราะใช้เพียงไม่กี่ตัวแปรที่ใช้ในคราวเดียว

 

สรุป

วิธีของนิวตันเป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพในการหาค่ารากของสมการ ที่สามารถนำมาประยุกต์ใช้ในหลาย ๆ สาขา แต่ก็ควรคำนึงถึงข้อจำกัดและวิธีการเลือกจุดเริ่มต้นให้เหมาะสมเพื่อประสิทธิภาพที่สูงสุด

หากคุณสนใจในโลกของโปรแกรมมิ่งและต้องการเรียนรู้แนวทางความรู้ที่ลึกซึ้งกว่า สามารถเรียนรู้หลักสูตรที่ทันสมัยและเข้าถึงได้ที่ EPT (Expert-Programming-Tutor) ที่พร้อมทำให้คุณเป็นผู้เชี่ยวชาญด้านการเขียนโปรแกรมภายในเวลาอันสั้น!

 

 

หมายเหตุ: ข้อมูลในบทความนี้อาจจะผิด โปรดตรวจสอบความถูกต้องของบทความอีกครั้งหนึ่ง บทความนี้ไม่สามารถนำไปใช้อ้างอิงใด ๆ ได้ ทาง EPT ไม่ขอยืนยันความถูกต้อง และไม่ขอรับผิดชอบต่อความเสียหายใดที่เกิดจากบทความชุดนี้ทั้งทางทรัพย์สิน ร่างกาย หรือจิตใจของผู้อ่านและผู้เกี่ยวข้อง