การใช้ Newton's Method ด้วยภาษา Fortran: การถอดรหัสปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน

 

 

Newton's Method คืออะไร?

Newton's Method หรือที่รู้จักกันในชื่อ Newton-Raphson Method เป็นอัลกอริธึมที่ใช้ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ไม่สามารถหาค่ารากได้อย่างชัดเจน ซึ่งมันช่วยในการหาค่าราก (Root) ของฟังก์ชัน \( f(x) = 0 \) โดยใช้อัตราการเปลี่ยนแปลง (Slope) ของฟังก์ชันเพื่อประมาณค่ารากที่ใกล้เคียงมากขึ้นในแต่ละรอบ

อัลกอริธึมนี้ถูกพัฒนาโดยเซอร์ ไอแซค นิวตัน โดยอิงจากแนวคิดการอนุพันธ์ ถ้าหากว่าเราเริ่มจากค่าที่ใกล้เคียงกับรากของฟังก์ชัน และทำการคำนวณขั้นตอนต่างๆ ตามสูตรนี้:

\[

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

\]

โดยที่ \( x_n \) คือค่าที่เราทดลองในรอบที่ \( n \) และ \( f'(x_n) \) คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ค่า \( x_n \)

 

Use Case ในโลกจริง

Newton's Method มีการประยุกต์ใช้ในหลายสาขา เช่น ฟิสิกส์ วิศวกรรมศาสตร์ เศรษฐศาสตร์ หรือแม้แต่การคำนวณทางการเงิน โดยเฉพาะในจุดที่ต้องการหาค่าที่เป็นรากของสมการที่ไม่สามารถหาค่าตรงได้ เช่น การประมาณหาค่าความชันหรือหาจุดที่ฟังก์ชันตัดกัน

ตัวอย่างเช่น ในการวิเคราะห์โครงสร้างของสะพาน ถ้าหากเราต้องการหาค่า 'แรงดึง' ที่ช่วยสนับสนุนโครงสร้างของสะพาน เราอาจจะใช้ Newton's Method ในการประเมินค่าดังกล่าวจากสมการที่เกี่ยวข้อง

 

การวิเคราะห์ Complexity

ในการคำนวณค่าแต่ละรอบ อัลกอริธึมนี้มีค่าใช้จ่ายเวลา (Time Complexity) ที่เป็น \( O(1) \) สำหรับการคำนวณทุกๆ รอบ แต่จำนวนรอบที่ต้องทำอาจจะแตกต่างกันตามค่าเริ่มต้นที่เลือกและลักษณะของฟังก์ชันที่กำลังพิจารณา ถ้าหากฟังก์ชันสนับสนุนการกระจายตัว (Uniform distribution) จะช่วยให้การหาค่ารากมักจะ converge อย่างรวดเร็ว

แต่ถึงอย่างไรอัลกอริธึมนี้ก็มีข้อเสียที่สำคัญ: มันสามารถล้มเหลวได้ถ้าหากเลือกค่าตั้งต้นที่ไม่ดี หรือถ้าหากฟังก์ชันไม่มีอนุพันธ์หรือมีอนุพันธ์เป็นศูนย์

 

ตัวอย่าง Code ด้วยภาษา Fortran

ด้านล่างนี้คือโค้ดตัวอย่างของ Newton's Method ที่เขียนด้วยภาษา Fortran ซึ่งจะใช้เพื่อหาค่ารากของฟังก์ชัน \( f(x) = x^2 - 2 \):

 PROGRAM NewtownMethod
  IMPLICIT NONE
  REAL :: x0, x1, tol, f, df
  INTEGER :: max_iter, iter

  ! เริ่มต้นค่าติดตั้ง
  x0 = 1.0
  tol = 1e-6
  max_iter = 100
  iter = 0

  ! ฟังก์ชัน f(x) = x^2 - 2
  f = FUNCTION(x)
    REAL :: FUNCTION(x)
    FUNCTION = x**2 - 2.0
  END FUNCTION f

  ! ฟังก์ชันอนุพันธ์
  df = DFUNCTION(x)
    REAL :: DFUNCTION(x)
    DFUNCTION = 2.0 * x
  END FUNCTION df

  ! อัลกอริธึม Newton's Method
  DO WHILE (iter < max_iter)
    x1 = x0 - f(x0) / df(x0)  ! คำนวณค่าใหม่
    IF (ABS(x1 - x0) < tol) EXIT  ! ถ้าใกล้เคียงกันมากพอ
    x0 = x1
    iter = iter + 1
  END DO

  ! แสดงผลลัพธ์
  PRINT *, 'Root found at: ', x1

END PROGRAM NewtownMethod

 

ข้อดีและข้อเสียของ Newton's Method

ข้อดี

1. เร็วและมีประสิทธิภาพ: เมื่อได้ค่าประมาณที่ดี ค่าเงินสดมักจะ converge โดยรวดเร็ว 2. การใช้งานที่ง่าย: แค่ต้องทราบเพียงอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง 3. กฎทั่วไปในการแก้ปัญหา: สามารถใช้ได้กับฟังก์ชันที่ต่างกัน

ข้อเสีย

1. ความไวต่อค่าตั้งต้น: ถ้าหากการเลือกค่าตั้งต้นไม่ดี อาจจะเปลี่ยนไปรอบที่ไม่ควร 2. จำกัดในการใช้งาน: ถ้าฟังก์ชันไม่มีอนุพันธ์หรือมีอนุพันธ์เป็นศูนย์ อัลกอริธึมจะไม่สามารถทำงานได้ 3. การฆ่าตัวตาย: หากมีค่าอนุพันธ์ที่เป็นศูนย์ ณ จุดนั้น การคำนวณจึงจะต้องล้มเหลว

 

สรุป

Newton's Method เป็นอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพในการหาค่ารากของฟังก์ชันในอะไรก็ตามที่ต้องการหาค่าต่างๆ ที่ซับซ้อนในโลกปัจจุบัน ความสามารถในการปรับใช้ทำให้มันมีความหลากหลายในการประยุกต์ใช้งานในหลายสาขา ไม่ว่าจะเป็นในวิศวกรรมศาสตร์หรือฟิสิกส์

หากคุณต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับการเขียนโปรแกรมในภาษา Fortran หรือต้องการเข้าใจแนวคิดการเขียนโค้ดอย่างลึกซึ้ง เพื่อแก้ปัญหาทางด้านคณิตศาสตร์หรือวิทยาศาสตร์อื่นๆ เราที่ EPT (Expert-Programming-Tutor) มีหลักสูตรที่เตรียมพร้อมให้ความรู้และทักษะในการเขียนโปรแกรมแก่คุณ!

 

 

หมายเหตุ: ข้อมูลในบทความนี้อาจจะผิด โปรดตรวจสอบความถูกต้องของบทความอีกครั้งหนึ่ง บทความนี้ไม่สามารถนำไปใช้อ้างอิงใด ๆ ได้ ทาง EPT ไม่ขอยืนยันความถูกต้อง และไม่ขอรับผิดชอบต่อความเสียหายใดที่เกิดจากบทความชุดนี้ทั้งทางทรัพย์สิน ร่างกาย หรือจิตใจของผู้อ่านและผู้เกี่ยวข้อง