ทำความรู้จัก Newton's Method และการใช้งานใน Kotlin

 

การพัฒนาโปรแกรมคอมพิวเตอร์ไม่เพียงแต่ต้องพึ่งพาโค้ดที่ถูกเขียนอย่างดีเท่านั้น แต่ต้องมีความเข้าใจในการประยุกต์ใช้เทคนิคและอัลกอริธึมเพื่อแก้ปัญหาต่าง ๆ ด้วย หนึ่งในอัลกอริธึมที่หลาย ๆ คนคงจะเคยได้ยินคือ "Newton's Method" หรือ "วิธีของนิวตัน" ซึ่งเป็นอัลกอริธึมที่ใช้ในการหาค่ารากของฟังก์ชันคณิตศาสตร์ มาดูกันว่าอัลกอริธึมนี้คืออะไร มีการทำงานอย่างไร และจะนำไปใช้ในทางปฏิบัติได้อย่างไร

 

อัลกอริธึมของ Newton's Method คืออะไร?

Newton's Method หรือที่เรียกว่า Newton-Raphson Method เป็นอัลกอริธึมที่ใช้ในการประเมินค่าแก้สมการ \( f(x) = 0 \) โดยเริ่มจากค่าประมาณเริ่มต้น \( x_0 \) และทำการปรับปรุงค่าประมาณนี้ไปเรื่อย ๆ ตามสูตร:

\[

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

\]

โดยที่ \( f'(x) \) คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันที่เราต้องการหาค่าราก

การทำงานของวิธีนิวตัน

1. เลือกค่าประมาณเริ่มต้น \( x_0 \)

2. คำนวณค่าของ \( f(x_n) \) และ \( f'(x_n) \)

3. ใช้สูตรด้านบนในการคำนวณ \( x_{n+1} \)

4. ตรวจสอบว่า \( |x_{n+1} - x_n| \) มีค่าน้อยกว่าค่าคงที่ที่กำหนดหรือไม่ หากใช่ แสดงว่าพบค่ารากแล้ว ถ้ายังให้กลับไปทำซ้ำขั้นตอนที่ 2

 

ตัวอย่างโค้ดใน Kotlin

เราจะสร้างฟังก์ชันสำหรับการหาค่ารากของฟังก์ชัน \( f(x) = x^2 - 2 \) ซึ่งมีค่ารากที่เป็น \( \sqrt{2} \)

 fun f(x: Double): Double {
    return x * x - 2
}

fun fPrime(x: Double): Double {
    return 2 * x
}

fun newtonsMethod(initialGuess: Double, tolerance: Double, maxIterations: Int): Double {
    var x = initialGuess
    for (i in 0 until maxIterations) {
        val fx = f(x)
        val fpx = fPrime(x)

        if (Math.abs(fx) < tolerance) {
            return x
        }

        x -= fx / fpx
    }
    throw RuntimeException("Did not converge")
}

fun main() {
    val initialGuess = 1.0
    val tolerance = 1e-10
    val maxIterations = 100
    val root = newtonsMethod(initialGuess, tolerance, maxIterations)
    println("Root: $root")
}

เมื่อรันโค้ดด้านบนจะพบว่าได้ค่ารากใกล้เคียง \( \sqrt{2} \) ซึ่งคือ 1.41421356237

 

Use Case ของ Newton's Method

1. การค้นหาค่ารากในทางวิศวกรรม

ในอุตสาหกรรมวิศวกรรม มักจะต้องใช้การหาค่ารากของฟังก์ชันในการออกแบบระบบ เช่น การหาค่าความดันที่เหมาะสมในระบบอัดอากาศ

2. ปัญหาทางการเงิน

ในด้านการเงิน อาจใช้ Newton's Method ในการหาค่าปัจจุบันมูลค่าของกระแสเงินสดในอนาคตเพื่อการวางแผนลงทุน

 

การวิเคราะห์ Complexity

- Time Complexity: โดยทั่วไปแล้วเวลาที่ใช้ในการทำงานของอัลกอริธึมนี้สามารถอยู่ในระดับของ \( O(n) \) แต่เวลาที่แท้จริงมักจะดีมาก เนื่องจากอัลกอริธึมนี้มักจะรวดเร็วและทำการหาค่ารากที่ถูกต้องเพียงไม่กี่รอบถ้าค่าประมาณเริ่มต้นอยู่ใกล้ค่ารากจริง - Space Complexity: การใช้หน่วยความจำของอัลกอริธึมนี้มีข้อดีคือไม่ต้องใช้หน่วยความจำมาก โดยทั่วไปอยู่ที่ \( O(1) \)

 

ข้อดีและข้อเสียของ Newton's Method

ข้อดี:

1. ความเร็ว: หากค่าเริ่มต้นถูกต้อง อัลกอริธึมนี้สามารถหาค่ารากได้เร็วกว่าหลาย ๆ อัลกอริธึมอื่น ๆ 2. ความแม่นยำสูง: อัลกอริธึมนี้มีความแม่นยำสูงเมื่อใกล้ค่ารากจริง

ข้อเสีย:

1. ต้องการอนุพันธ์: อัลกอริธึมนี้ต้องการทราบอนุพันธ์ซึ่งอาจไม่สามารถหาได้ง่ายในบางกรณี 2. อาจไม่ converge: ถ้าค่าประมาณเริ่มต้นไม่ใกล้เคียงค่ารากจริง อาจทำให้อัลกอริธึมไม่สามารถหาค่ารากได้ หรือวนรอบไปเรื่อย ๆ

 

เชิญชวนไปศึกษาต่อที่ EPT

การเรียนรู้เกี่ยวกับอัลกอริธึมและวิธีการต่าง ๆ ในการแก้ปัญหานั้นเป็นส่วนสำคัญของการเขียนโปรแกรม หากคุณสนใจที่จะเข้าใจเพิ่มเติมเกี่ยวกับการเขียนโปรแกรมและอัลกอริธึมอย่างลึกซึ้ง มาเรียนรู้กับเราได้ที่ EPT (Expert-Programming-Tutor) ที่นี่เรามีการสอนการเขียนโปรแกรมตั้งแต่พื้นฐานจนถึงขั้นสูง โดยมีอาจารย์ที่มีประสบการณ์พร้อมสนับสนุนคุณในการพัฒนาทักษะการเขียนโปรแกรมที่คุณต้องการ!

ด้วยความรู้ที่มั่นคงจากการเรียนที่ EPT คุณจะสามารถนำอัลกอริธึมที่ได้เรียนรู้ไปประยุกต์ใช้ในโครงการจริงได้อย่างมั่นใจ! 🌟

---

หมายเหตุ

: บทความนี้มีเป้าหมายเพื่อการศึกษาและส่งเสริมการเรียนรู้ในด้านการเขียนโปรแกรมและไม่ใช้การพันธะทางการค้าแต่อย่างใด

 

 

หมายเหตุ: ข้อมูลในบทความนี้อาจจะผิด โปรดตรวจสอบความถูกต้องของบทความอีกครั้งหนึ่ง บทความนี้ไม่สามารถนำไปใช้อ้างอิงใด ๆ ได้ ทาง EPT ไม่ขอยืนยันความถูกต้อง และไม่ขอรับผิดชอบต่อความเสียหายใดที่เกิดจากบทความชุดนี้ทั้งทางทรัพย์สิน ร่างกาย หรือจิตใจของผู้อ่านและผู้เกี่ยวข้อง