ลุยเข้าสู่นิยามและการทำงานของ Newton's Method ด้วยภาษา Objective-C

 

Newton's Method หรือที่เรียกว่า Newton-Raphson Method เป็นอัลกอริธึมที่มีชื่อเสียงในการหาค่ารากของฟังก์ชัน (root of a function) โดยทั่วไปแล้วมันถูกนำไปประยุกต์ในหลาย ๆ ด้าน เช่น คณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ วิศวกรรม และที่สำคัญที่สุดในวงการคอมพิวเตอร์ (โปรแกรมมิ่ง) โดยเฉพาะในการพัฒนาซอฟต์แวร์ที่มักต้องการการคำนวณที่แม่นยำและรวดเร็ว

อัลกอริธึม Newton's Method

Newton's Method ใช้วิธีการอนุมานค่ารากของฟังก์ชัน $f(x)$ โดยการใช้และอัปเดตค่าครั้งปัจจุบันไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะถึงค่าที่ต้องการ ฟังก์ชันที่เลือกมาใช้เรียกว่า $f'(x)$ ซึ่งเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กระทำนั่นเอง ขั้นตอนพื้นฐานของอัลกอริธึมนี้คือ:

1. ออกเสียงค่าทแยง (initial guess) ที่อยู่ใกล้ค่าราก

2. คำนวณค่ารากต่อไปโดยใช้สูตร

\[

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

\]

3. ทำการประเมินค่าต่อไปด้วยการย้อนกลับไปที่ขั้นตอนที่ 2 จนกว่าจะค่าผลต่างระหว่าง $x_n$ และ $x_{n+1}$ ต่ำกว่าข้อกำหนดที่ตั้งไว้

ตัวอย่าง Code ด้วยภาษา Objective-C

อย่างแรก เรามาถึงขั้นตอนการเขียนโค้ดเพื่อใช้ Newton's Method ในภาษา Objective-C กันดีกว่า ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างฟังก์ชันที่จะหาค่ารากของฟังก์ชัน $x^2 - 2 = 0$ ซึ่งเรารู้ดีว่ารากคือ $\sqrt{2}$:

 #import <Foundation/Foundation.h>

double f(double x) {
    return x * x - 2; // ฟังก์ชันที่ต้องการหาค่าราก
}

double fPrime(double x) {
    return 2 * x; // อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
}

double newtonMethod(double initialGuess, double tolerance, int maxIterations) {
    double x0 = initialGuess;
    for (int i = 0; i < maxIterations; i++) {
        double x1 = x0 - f(x0) / fPrime(x0);

        // เช็คว่าค่าที่ได้อยู่ในช่วงที่กำหนดหรือไม่
        if (fabs(x1 - x0) < tolerance) {
            return x1; // คืนค่ารากเมื่อค่ามีความแม่นยำพอสมควร
        }
        x0 = x1; // ปรับค่าคาดการณ์ใหม่
    }
    return x0; // ถ้าไม่เจอค่ารากที่แม่นยำในจำนวนครั้งที่กำหนด ให้คืนค่าที่ยังคงอยู่
}

int main(int argc, const char * argv[]) {
    @autoreleasepool {
        double root = newtonMethod(1.0, 0.0001, 100);
        NSLog(@"ค่าราก (Square Root of 2) คือ: %f", root);
    }
    return 0;
}

Use Case ในโลกจริง

ในโลกแห่งความเป็นจริง การใช้ Newton's Method เป็นที่นิยมในหลาย ๆ ด้าน การคำนวณทางการเงิน ใช้สำหรับการประเมินราคาทางด้านการลงทุน มันยังถูกใช้ในกราฟิกคอมพิวเตอร์ เช่น การเรนเดอร์ภาพ 3 มิติ เพื่อหาจุดตัดของเรขาคณิตต่าง ๆ ภายในกราฟ โปรแกรมนี้สามารถคำนวณหาค่าจุด ที่ต้องใช้ในการสร้างภาพที่มีความแม่นยำสูง

ความซับซ้อน (Complexity Analysis)

เมื่อพูดถึงการวิเคราะห์ความซับซ้อน โดยทั่วไปแล้ว Newton's Method จะมีความซับซ้อนเป็น O(n) ซึ่งหมายความว่าจำนวนการทำการกลับไปกลับมาต่อราคาค่ารากนั้นสัมพันธ์กับจำนวนของความแม่นยำที่เราต้องการ นั่นคือ เซเกลของฟังก์ชันในการประมวลผล อย่างไรก็ตาม ในกรณีที่ไม่กำหนดให้มีความแม่นยำสูง อาจทำให้เกิดการวนซ้ำไประยะเวลานาน และในกรณีที่ไม่เหมาะสมอาจพาเราหลงเข้าไปในหลุมแห่งบัค (collapse) หรือติดอยู่ที่ค่าไม่ต้องการ

ข้อดีและข้อเสียของอัลกอริธึมนี้

##### ข้อดี:

1. ความเร็ว: เนื่องจากวิธีนี้มีความเร็วกว่าเมื่อเทียบกับวิธีการอื่น ๆ เช่น วิธีตรวจสอบโดยใช้ระยะครึ่ง (Bisection Method) 2. ความแม่นยำ: เมื่อค่านำเข้าของการประมาณใกล้เคียงมากพอกับค่าราก จะได้ผลลัพธ์ที่แม่นยำอย่างรวดเร็ว 3. ประยุกต์ใช้ได้หลากหลาย: นอกจากจะหาค่ารากของฟังก์ชันแล้ว ยังคำนวณค่าต่าง ๆ ในสถิติหรือวิทยาการคอมพิวเตอร์

##### ข้อเสีย:

1. ไม่สามารถใช้งานได้ในทุกกรณี: ถ้าฟังก์ชันที่เลือกมีค่าภายนอกที่จุดของการคำนวณ อาจทำให้เกิดค่าผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้องหรือไม่สามารถคำนวณได้ 2. การตั้งค่าเริ่มต้นที่สำคัญ: การเลือกค่าเริ่มต้นที่อยู่ในการพิจารณาเป็นเรื่องสำคัญ เนื่องจากมันอาจทำให้การวนรอบไม่สูญสิ้นไปหรือหันไปตกที่จุดอื่น ๆ

 

เชิญชวนให้เรียนรู้กับ EPT

ด้วยข้อดีและความสามารถของ Newton's Method ถ้าคุณต้องการพัฒนาทักษะโปรแกรมมิ่งอย่างจริงจัง แนะนำให้ศึกษาเพิ่มเติมที่ EPT (Expert-Programming-Tutor)! ที่นี่คุณจะได้เรียนรู้กับคอร์สที่ครอบคลุมไม่ว่าจะเป็นการเขียนโปรแกรม, การวิเคราะห์อัลกอริธึม, การพัฒนาซอฟต์แวร์ คุณจะค้นพบวิธีการต่าง ๆ ที่จะนำไปใช้ในชีวิตจริงได้อย่างจริงจังและเต็มเปี่ยมด้วยความสนุกสนาน!

กล้าที่จะก้าวออกจาก Comfort Zone ของคุณ และสร้างความเหนือชั้นในการพัฒนาโปรแกรมมิ่งได้ที่ EPT!

 

 

หมายเหตุ: ข้อมูลในบทความนี้อาจจะผิด โปรดตรวจสอบความถูกต้องของบทความอีกครั้งหนึ่ง บทความนี้ไม่สามารถนำไปใช้อ้างอิงใด ๆ ได้ ทาง EPT ไม่ขอยืนยันความถูกต้อง และไม่ขอรับผิดชอบต่อความเสียหายใดที่เกิดจากบทความชุดนี้ทั้งทางทรัพย์สิน ร่างกาย หรือจิตใจของผู้อ่านและผู้เกี่ยวข้อง