วิธีนิวตัน (Newton's Method) ในภาษา Delphi Object Pascal

 

เมื่อพูดถึงการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ มีหลายวิธีที่น่าสนใจในการหาค่าราก (root) ของฟังก์ชัน หนึ่งในวิธีที่มีชื่อเสียงมากคือ **วิธีนิวตัน** (Newton's Method) ซึ่งมีความสำคัญในหลายสาขา ทั้งวิทยาศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ และการวิเคราะห์ข้อมูล ในบทความนี้ เราจะมาทำความเข้าใจเกี่ยวกับวิธีนิวตัน พร้อมกับตัวอย่างโค้ดโดยใช้ **Delphi Object Pascal** และการวิเคราะห์ข้อดีข้อเสียของวิธีนี้

 

วิธีนิวตันคืออะไร?

วิธีนิวตันเป็นอัลกอริธึมที่ใช้ในการหาค่ารากของฟังก์ชัน ซึ่งมีหลักการพื้นฐานคือการใช้แนวทางการอนุกรมเทย์เลอร์ (Taylor Series) หรือการประมาณค่าของฟังก์ชันในรอบข้างของจุดที่รู้จัก เพื่อให้กระบวนการหาค่ารากเฉพาะ (root finding) มีความทันสมัยมากขึ้น และมีความเร็วในการคำนวณที่สูงขึ้น โดยมีสูตรการคำนวณดังนี้:

\( x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \)

โดยที่:

- \( x_n \) คือค่าปัจจุบัน

- \( f \) คือฟังก์ชันที่ต้องการหาค่าราก

- \( f' \) คืออนุพันธ์ของฟังก์ชัน \( f \)

 

การใช้วิธีนิวตันในการแก้ปัญหา

วิธีนิวตันถูกนำมาใช้ในหลายภาพรวม เช่น

1. การหาค่ารากของสมการพีชคณิต

2. การลากแกนในโมเดลทางฟิสิกส์

3. การคำนวณสินค้าทางเศรษฐศาสตร์

ตัวอย่างโค้ด Delphi Object Pascal

มาเขียนโค้ดตัวอย่างเพื่อหาค่ารากของฟังก์ชัน \( f(x) = x^2 - 2 \) ซึ่งมีค่ารากที่ต้องการคือ \( \sqrt{2} \)

 program NewtonMethod;

{$APPTYPE CONSOLE}

uses
  SysUtils;

function f(x: Double): Double;
begin
  Result := x * x - 2; // ฟังก์ชันที่จะหาค่าราก
end;

function f_prime(x: Double): Double;
begin
  Result := 2 * x; // อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
end;

function NewtonMethod(initialGuess: Double; tolerance: Double; maxIterations: Integer): Double;
var
  x_n, x_n1: Double;
  iterations: Integer;
begin
  x_n := initialGuess;
  iterations := 0;

  repeat
    x_n1 := x_n - f(x_n) / f_prime(x_n);
    if Abs(x_n1 - x_n) < tolerance then
      Break;
    x_n := x_n1;
    Inc(iterations);
  until iterations >= maxIterations;

  Result := x_n1;
end;

var
  root: Double;
begin
  try
    root := NewtonMethod(1.0, 0.001, 100);
    WriteLn('ค่ารากที่ได้คือ: ', root:0:5); // แสดงผลค่าราก
  except
    on E: Exception do
      Writeln(E.ClassName, ': ', E.Message);
  end;

  ReadLn;
end.

#### การอธิบายโค้ด

ในโค้ดตัวอย่างข้างต้น:

- เราได้ทำการนิยามฟังก์ชัน `f` และฟังก์ชันอนุพันธ์ `f_prime` .

- จากนั้นใช้ฟังก์ชัน `NewtonMethod` เพื่อคำนวณหาค่าราก โดยมีค่าเริ่มต้นที่ 1.0 และกำหนดค่าความแม่นยำไว้ที่ 0.001

- การทำงานจะวนลูปจนกว่าจะได้ค่ารากที่มีความแม่นยำตามที่ต้องการหรือลงถึงจำนวนการวนลูปสูงสุด

 

Use Case ในโลกจริง

หนึ่งในตัวอย่างการใช้วิธีนิวตันคือการประยุกต์ในการวิเคราะห์ทางการเงิน เช่น การคำนวณอัตราดอกเบี้ยที่ทำให้มูลค่าปัจจุบันของเงินสดในอนาคตเท่ากับค่าใช้จ่ายในปัจจุบัน โดยสามารถใช้วิธีนิวตันเพื่อหารากของสมการที่เกี่ยวข้องกับกระแสเงินสดที่เปลี่ยนแปลงไป

 

การวิเคราะห์ความซับซ้อน (Complexity)

การค้นหาค่ารากโดยใช้วิธีนิวตันมีความซับซ้อนทางคณิตศาสตร์อยู่ที่ \( O(N) \) ซึ่งตรงกับจำนวนของการประมาณค่าที่ต้องทำเพื่อที่จะเข้าใกล้ค่าที่แท้จริง ในทางปฏิบัติวิธีนี้มักจะรวดเร็วมาก โดยเฉพาะในกรณีที่ค่าทางเข้าใกล้ค่ารากที่แท้จริง

 

ข้อดีข้อเสียของวิธีนิวตัน

ข้อดี:

1. รวดเร็ว: สามารถหาได้อย่างรวดเร็วเมื่อค่าประเมินเริ่มต้นใกล้เคียงกับราก 2. ง่ายต่อการเข้าใจและประยุกต์: สูตรคำนวณสามารถเข้าใจได้ง่าย

ข้อเสีย:

1. ขึ้นอยู่กับค่าประเมินเริ่มต้น: หากค่าที่เริ่มต้นไม่ดี อาจทำให้ไม่สามารถหาค่ารากได้ 2. ต้องการการอนุพันธ์: วิธีนี้จำเป็นต้องทราบอนุพันธ์ของฟังก์ชันด้วย

 

เรียนรู้โปรแกรมมิ่งที่ EPT

วิธีนิวตันเป็นเพียงหนึ่งในหลายๆ อัลกอริธึมที่เราใช้ในการพัฒนาซอฟต์แวร์ ถ้าคุณสนใจในโลกของการเขียนโปรแกรมและต้องการศึกษาเพิ่มเติมเกี่ยวกับอัลกอริธึมที่ซับซ้อนมากขึ้น เราขอเชิญคุณมาศึกษาที่ Expert-Programming-Tutor (EPT) โรงเรียนที่มุ่งมั่นในการพัฒนาและส่งเสริมทักษะการเขียนโปรแกรม ไม่เพียงแต่กับ Delphi แต่รวมถึงหลายภาษาและเทคโนโลยีอีกมากมาย

หากคุณต้องการเป็นนักพัฒนาซอฟต์แวร์มืออาชีพ เริ่มต้นการเดินทางของคุณที่ EPT วันนี้!

 

 

หมายเหตุ: ข้อมูลในบทความนี้อาจจะผิด โปรดตรวจสอบความถูกต้องของบทความอีกครั้งหนึ่ง บทความนี้ไม่สามารถนำไปใช้อ้างอิงใด ๆ ได้ ทาง EPT ไม่ขอยืนยันความถูกต้อง และไม่ขอรับผิดชอบต่อความเสียหายใดที่เกิดจากบทความชุดนี้ทั้งทางทรัพย์สิน ร่างกาย หรือจิตใจของผู้อ่านและผู้เกี่ยวข้อง