การเรียนรู้ Newton's Method เพื่อหาค่าอนุพันธ์ด้วย Dart

 

 

บทนำ

สำหรับผู้ที่สนใจพัฒนาทักษะการเขียนโปรแกรมและทำความเข้าใจเกี่ยวกับการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ วันนี้เราจะมาทำความรู้จักกับ **Newton's Method** หรือที่รู้จักกันในชื่อ **Newton-Raphson Method** ซึ่งเป็นอัลกอริธึมที่ใช้ในการหาค่ารากของฟังก์ชัน (Root Finding) มาดูกันว่าอัลกอริธึมนี้คืออะไร ใช้ทำอะไรได้บ้าง และเราจะเขียนโค้ดในภาษา Dart เพื่อเป็นตัวอย่างให้ชัดเจนยิ่งขึ้น

 

Newton's Method คืออะไร?

Newton's Method เป็นอัลกอริธึมที่ใช้ในการหาค่ารากของฟังก์ชัน โดยใช้คุณสมบัติของอนุพันธ์เพื่อหาค่าประมาณที่ใกล้เคียงที่สุด เราสามารถใช้วิธีนี้เพื่อหาค่าราก (x) ที่ทำให้ฟังก์ชัน (f(x) = 0) ได้อย่างรวดเร็ว

การทำงานของ Newton's Method

1. เราเริ่มจากการเลือกค่าเริ่มต้น \(x_0\)

2. ใช้สูตรในการคำนวณค่าใหม่ \(x_1\) ซึ่งคำนวณจากอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด \(x_0\)

\[

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

\]

3. ทำขั้นตอนนี้ซ้ำไปจนกว่าเราจะได้ค่าที่เราต้องการ ซึ่งสามารถกำหนดเงื่อนไขหยุดตามระดับความแม่นยำที่ต้องการ

 

ตัวอย่างการใช้ Newton's Method

Use Case ในโลกจริง

หนึ่งในกรณีการใช้งานที่เห็นได้ชัดเจนของ Newton's Method คือในการหาค่าของ Square Roots หรือการหาค่ารากที่สองของตัวเลข เช่น หากเราต้องการหาค่ารากที่สองของ 25 เราสามารถใช้ Newton's Method ในการคำนวณได้

โค้ดตัวอย่างใน Dart

ต่อไปนี้คือโค้ดการเขียน Newton's Method เพื่อหาค่ารากที่สองของตัวเลข ในกรณีนี้ เราจะหาค่ารากที่สองของ 25:

 double f(double x) {
  return x * x - 25; // ฟังก์ชัน f(x) = x^2 - 25
}

double fPrime(double x) {
  return 2 * x; // อนุพันธ์ของ f(x) คือ f'(x) = 2x
}

double newtonRaphson(double x0, double tolerance, int maxIterations) {
  double x = x0;
  for (int i = 0; i < maxIterations; i++) {
    double fx = f(x);
    double fpx = fPrime(x);
    if (fpx == 0) {
      throw Exception("ฟังก์ชันอนุพันธ์เป็นศูนย์ที่ x = $x");
    }
    double xNew = x - fx / fpx;
    if ((xNew - x).abs() < tolerance) {
      return xNew; // ถ้าค่าความแตกต่างน้อยกว่าความแม่นยำที่กำหนด ก็หยุด
    }
    x = xNew;
  }
  throw Exception("ไม่สามารถหาค่ารากได้ภายในจำนวนครั้งที่กำหนด");
}

void main() {
  double initialGuess = 5.0; // ค่าเริ่มต้น
  double tolerance = 1e-7; // ความแม่นยำ
  int maxIterations = 100; // จำนวนครั้งสูงสุดในการคำนวณ

  try {
    double root = newtonRaphson(initialGuess, tolerance, maxIterations);
    print("ค่ารากที่สองของ 25 คือ: $root");
  } catch (e) {
    print(e);
  }
}

 

การวิเคราะห์ Complexity

Time Complexity

Newton's Method ถือว่ามี Time Complexity ที่ดีในเรื่องของความเร็วเนื่องจากอัลกอริธึมนี้มีระดับการคอนเวอร์จไปที่ผลลัพธ์ที่ถูกต้องอย่างรวดเร็ว วิธีนี้มักจะมีความแม่นยำสูงมากเพียงแค่ 2-3 ขั้นตอนหากค่าเริ่มต้นอยู่ใกล้ราก

Space Complexity

อัลกอริธึมนี้มี Space Complexity คงที่ \(O(1)\) เพราะเราใช้ตัวแปรคงที่ในการทำงาน

 

ข้อดีและข้อเสียของ Newton's Method

ข้อดี:

1. ความเร็ว: เป็นอัลกอริธึมที่มีความรวดเร็วในการหาค่าราก โดยเฉพาะเมื่อค่าเริ่มต้นใกล้เคียงกับรากที่แท้จริง 2. ความแม่นยำ: สามารถให้ผลลัพธ์ที่มีความแม่นยำสูงหากเก็บค่าความผิดพลาดอย่างเหมาะสม 3. การใช้งานทั่วไป: สามารถใช้ได้กับฟังก์ชันหลายๆ ชนิด ซึ่งมีประโยชน์ในหลายบริบททางคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์

ข้อเสีย:

1. ต้องการอนุพันธ์: ต้องใช้ฟังก์ชันอนุพันธ์และอาจจะไม่สามารถใช้กับบางฟังก์ชันได้ถ้าไม่สามารถหาค่าของอนุพันธ์ได้ 2. การเลือกค่าเริ่มต้น: หากค่าเริ่มต้นเลือกไม่ดี อาจทำให้ไม่สามารถหาค่ารากได้หรือทำให้ไปที่รากอื่นที่ไม่เกี่ยวข้อง 3. ผลลัพธ์ที่ไม่เสถียร: อาจมีปัญหาเช่นการวนอยู่ในวงจร (oscillation) หรือการตกหล่นที่จุดที่ไม่ใช่ราก

 

สรุป

Newton's Method เป็นอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพสูงในการหาค่ารากของฟังก์ชัน ผลลัพธ์ที่เราคำนวณในตัวอย่างนี้ โดยการนำไปใช้ใน Dart ทำให้เห็นว่าการเขียนโปรแกรมสามารถช่วยในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้เป็นอย่างดี

หากคุณสนใจที่จะศึกษาเพิ่มเติมเกี่ยวกับอัลกอริธึมและการเขียนโปรแกรมต่างๆ หรือแม้กระทั่งเรียนรู้การพัฒนาโปรแกรมเชิงลึกอย่างต่อเนื่องสามารถสมัครเรียนที่ EPT (Expert Programming Tutor) เพื่อพัฒนาทักษะของคุณและเปิดโลกใหม่ในด้านการเขียนโปรแกรม!

 

 

หมายเหตุ: ข้อมูลในบทความนี้อาจจะผิด โปรดตรวจสอบความถูกต้องของบทความอีกครั้งหนึ่ง บทความนี้ไม่สามารถนำไปใช้อ้างอิงใด ๆ ได้ ทาง EPT ไม่ขอยืนยันความถูกต้อง และไม่ขอรับผิดชอบต่อความเสียหายใดที่เกิดจากบทความชุดนี้ทั้งทางทรัพย์สิน ร่างกาย หรือจิตใจของผู้อ่านและผู้เกี่ยวข้อง