การศึกษา Muller's Method ด้วยภาษา Ruby

 

ในวงการคอมพิวเตอร์ โปรแกรมเมอร์ผู้ใฝ่เรียนรู้ย่อมทำความเข้าใจเกี่ยวกับอัลกอริธึมต่างๆ เพื่อให้พวกเขาสามารถเลือกใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพมากที่สุด วันนี้เราจะมาทำความรู้จักกับ *Muller's Method* ซึ่งเป็นอัลกอริธึมที่ใช้ในการหาค่ารากของฟังก์ชัน ซึ่งเป็นหนึ่งในปัญหาที่น่าสนใจในวิทยาการคอมพิวเตอร์และคณิตศาสตร์

 

Muller's Method คืออะไร?

Muller's Method เป็นอัลกอริธึมที่พัฒนาขึ้นเพื่อหาค่าราก (roots) ของสมการที่ไม่สามารถแก้ไขได้อย่างตรงไปตรงมา ซึ่งมันจะใช้พื้นฐานของวิธีการแบ่งครึ่ง (secant method) แต่มันมีการปรับปรุงโดยการใช้พอยท์ 3 จุดแทนการใช้แค่ 2 จุดในการประมาณค่าฟังก์ชัน

วิธีการทำงานของ Muller's Method

Muller's Method จะเริ่มจากการเลือกพอยท์เริ่มต้น 3 จุด \(x_0, x_1, x_2\) ที่ฟังก์ชัน \(f(x)\) มีค่าไม่เท่ากับ 0 จากนั้นอัลกอริธึมจะคำนวณค่าต่าง ๆ ดังนี้:

1. หาค่าสิ้นสุด 3 จุดที่เลือก

2. สร้างพาราโบลาที่อินเตอร์โพเลตค่า \(f(x)\) สำหรับพอยท์ 3 จุด

3. คำนวณรากของพาราโบลานั้น

4. ซ้ำขั้นตอนนี้ไปเรื่อยๆ จนกว่าจะหาค่ารากที่พอใจ

 

ตัวอย่าง Code ด้วย Ruby

เราจะมาดูตัวอย่างโค้ดที่ใช้ภาษา Ruby สำหรับการเล่นกับ Muller's Method:

 def muller_method(f, x0, x1, x2, tol = 1e-7, max_iter = 100)
  iter = 0
  while iter < max_iter
    # คำนวณค่า f(x) สำหรับแต่ละพอยท์
    f0, f1, f2 = f.call(x0), f.call(x1), f.call(x2)

    # คำนวณ h และ d
    h1, h2 = x1 - x0, x2 - x1
    d1 = (f1 - f0) / h1
    d2 = (f2 - f1) / h2
    a = (d2 - d1) / (h2 + h1)
    b = a * h2 + d2
    c = f2

    # คำนวณ discriminant และราก
    discriminant = b**2 - 4 * a * c
    if discriminant < 0
      puts "Discriminant is negative, cannot find real roots."
      return nil
    end

    # รากที่มีค่าเป็นบวก
    sqrt_discriminant = Math.sqrt(discriminant)
    root1 = x2 + (-2 * c) / (b + sqrt_discriminant)
    root2 = x2 + (-2 * c) / (b - sqrt_discriminant)

    # เลือกรากที่ใกล้เคียงกับ x2
    root = (root1.abs < root2.abs) ? root1 : root2

    # เช็คว่าราคอยู่ใน tolerance หรือไม่
    return root if (root - x2).abs < tol

    # ปรับค่า x สำหรับรอบถัดไป
    x0, x1, x2 = x1, x2, root
    iter += 1
  end
  puts "Reached max iterations"
  return nil
end

# ฟังก์ชันที่ต้องการหาค่าราก
f = ->(x) { x**3 - 9*x + 3 }

# เริ่มทำการหาค่าราก
root = muller_method(f, -3.0, -2.0, -1.0)
puts "Root found: #{root}"

 

Use Case ในโลกจริง

Muller's Method มักถูกใช้งานในสถานการณ์ที่มีฟังก์ชันที่ซับซ้อน เช่น ในฟิสิกส์เพื่อหาค่ารากของสมการที่มีรูปแบบไม่เป็นเชิงเส้น เช่น การคำนวณตำแหน่งที่แน่นอนของดาวเทียมซึ่งอาจจะมีการเข้ามาเกี่ยวข้องของแรงดึงดูดจากวัตถุอื่น ๆ

นอกจากนี้ ยังสามารถนำไปใช้ในวิทยาการคอมพิวเตอร์เพื่อวิจัยเรื่อง AI โดยการปรับค่า hyperparameter ของโมเดลที่ต้องการเพื่อทำให้การทำนายได้แม่นยำยิ่งขึ้น

 

วิเคราะห์ Complexity

ในแง่ของความซับซ้อนในการคำนวณ:

- เวลาการทำงาน (Time Complexity): โดยทั่วไปแล้วความซับซ้อนของ Muller's Method เป็น \(O(n)\) ซึ่งหมายถึงเราต้องทำการคำนวณจำนวนหนึ่งขั้นตอนสำหรับการหาค่ารากทุกครั้ง - พื้นที่ในการจัดเก็บ (Space Complexity): ในส่วนนี้ถือว่าใช้พื้นที่น้อยเพราะใช้แค่ตัวแปรไม่กี่ตัว ไม่มีพื้นที่เก็บข้อมูลเพิ่มเฮ้ด

 

ข้อดีข้อเสียของ Algorithm นี้

ข้อดี:

1. สามารถหาค่ารากได้ในเวลาที่รวดเร็ว: เมื่อทำการคำนวณจำนวนครั้งไม่มาก 2. รองรับสมการที่มีลักษณะ non-linear: ทำให้สามารถใช้งานในหลายๆ สถานการณ์

ข้อเสีย:

1. อาจไม่สามารถหาค่ารากได้ถ้าฟังก์ชันไม่เป็นไปตามเงื่อนไขที่กำหนด: เช่น ในกรณีที่ discriminant เป็นค่าติดลบ 2. ขึ้นอยู่กับพอยท์เริ่มต้น: รากที่ได้อาจไม่แม่นยำถ้าทำการเลือกพอยท์เริ่มต้นไม่ดี

 

สรุป

Muller's Method ถือเป็นอัลกอริธึมที่ใช้งานได้อย่างมีประสิทธิภาพในการหาค่ารากของฟังก์ชัน ฟังก์ชันผ่านทางการใช้ Ruby จะช่วยให้การทำงานเป็นไปอย่างราบรื่นและช่วยลดความซับซ้อนของการคำนวณ

หากคุณรู้สึกสนใจในโค้ดด้านบนและต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับการเขียนโปรแกรมและอัลกอริธึมต่างๆ อย่าลืมมาศึกษาที่ EPT (Expert-Programming-Tutor) ซึ่งมีหลักสูตรและการสอนที่เข้มข้น เพื่อนำคุณไปสู่การเป็นผู้เชี่ยวชาญในโลกการเขียนโปรแกรมได้อย่างแท้จริง!

 

 

หมายเหตุ: ข้อมูลในบทความนี้อาจจะผิด โปรดตรวจสอบความถูกต้องของบทความอีกครั้งหนึ่ง บทความนี้ไม่สามารถนำไปใช้อ้างอิงใด ๆ ได้ ทาง EPT ไม่ขอยืนยันความถูกต้อง และไม่ขอรับผิดชอบต่อความเสียหายใดที่เกิดจากบทความชุดนี้ทั้งทางทรัพย์สิน ร่างกาย หรือจิตใจของผู้อ่านและผู้เกี่ยวข้อง