การใช้วิธีของมัลเลอร์ (Muller’s Method) ในการหาค่าติดตามรากของสมการด้วย PHP

 

 

บทนำ

การหาค่าติดตามราก (Root-finding) เป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญ โดยเฉพาะในสาขาที่เกี่ยวข้องกับวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม วิธีการหาค่าติดตามรากมีหลายวิธี หนึ่งในนั้นคือ วิธีของมัลเลอร์ (Muller’s Method) ซึ่งเป็นความคิดเห็นที่พัฒนาจาก Nilakantha Somayaji เพื่อหาค่าติดตามรากของฟังก์ชันต่อเนื่องในรูปแบบที่มีประสิทธิภาพสูง

ในบทความนี้เราจะมาทำความรู้จักกับวิธีของมัลเลอร์ อธิบายเกี่ยวกับ Algorithm นี้ วิเคราะห์ความซับซ้อน (Complexity) และยกตัวอย่างการใช้งานจริงที่สามารถนำไปปรับใช้ได้ นอกจากนี้ยังมีตัวอย่างโค้ด PHP เพื่อให้ผู้อ่านสามารถนำไปรันและทำความเข้าใจได้อย่างง่ายดาย และเชิญชวนให้ศึกษาต่อที่ EPT!

 

อัลกอริธึมของมัลเลอร์ (Muller’s Method)

วิธีของมัลเลอร์ถูกพัฒนาขึ้นเพื่อหาค่าติดตามรากของฟังก์ชันที่ไม่รู้จักในระดับที่สูงกว่า วิธีนี้เกิดจากแนวคิดในการใช้ การประมาณค่า (Interpolation) แบบพหุนามที่มีค่าเป็นแบบเส้นตรงสองจุดในประเด็น x2, x1 และ x0

Algorithm ขั้นตอนหลัก

1. กำหนดค่าพารามิเตอร์เริ่มต้น: ต้องมีค่าจำนวนมากอย่างน้อย สามค่าคือ x0, x1, และ x2 2. คำนวณการประมาณค่า: ใช้สูตรที่เฉพาะเจาะจงในการคำนวณค่าราก 3. เวิร์คซ้ำ: ทำงานซ้ำ ๆ จนกว่าค่ารากจะมีความแม่นยำที่ต้องการ

ฟังก์ชันในการคำนวณ

ฟังก์ชันที่ใช้ทำการหาค่าติดตามรากจะเป็นดังนี้:

 function muller($x0, $x1, $x2, $f, $epsilon, $max_iterations) {
    for ($i = 0; $i < $max_iterations; $i++) {
        $fx0 = $f($x0);
        $fx1 = $f($x1);
        $fx2 = $f($x2);

        $h0 = $x1 - $x0;
        $h1 = $x2 - $x1;
        $d0 = ($fx1 - $fx0) / $h0;
        $d1 = ($fx2 - $fx1) / $h1;

        $a = ($d1 - $d0) / ($h1 + $h0);
        $b = $a * $h1 + $d1;
        $c = $fx2;

        $discriminant = $b * $b - 4 * $a * $c;

        if ($discriminant < 0) {
            echo "No real roots found.\n";
            return null;
        }

        $sqrtDiscri = sqrt($discriminant);
        $denominator1 = $b +  $sqrtDiscri;
        $denominator2 = $b -  $sqrtDiscri;

        $root1 = $x2 + (2 * $c / $denominator1);
        $root2 = $x2 + (2 * $c / $denominator2);

        // ตรวจสอบว่าตัวไหนที่อยู่ใกล้ที่สุด
        if (abs($root1 - $x2) < abs($root2 - $x2)) {
            $x2 = $root1;
        } else {
            $x2 = $root2;
        }

        // ตรวจสอบความแม่นยำ
        if (abs($f($x2)) < $epsilon) {
            return $x2;
        }

        $x0 = $x1;
        $x1 = $x2;
    }

    echo "Max iterations reached.\n";
    return null;
}

// นิยามฟังก์ชันที่เราต้องการหา root
function f($x) {
    return ($x ** 2) - 2; // ต้องการหาค่ารากของ x^2 - 2 = 0
}

// การเรียกใช้ muller
$result = muller(1, 2, 3.5, 'f', 0.0001, 10);
echo "Root found: " . $result . "\n";

 

การใช้งานในโลกจริง

อัลกอริธึมของมัลเลอร์สามารถนำไปใช้ในหลายสาขา เช่น การจำลองฟิสิกส์ การวิเคราะห์วงจรไฟฟ้า หรือแม้กระทั่งในการพัฒนาซอฟต์แวร์เพื่อเชื่อมต่อกับเซนเซอร์ ในกรณีที่เราอาจต้องการหาค่ารากของสมการในระบบเชิงซ้อนซึ่งการคำนวณนั้นอาจใช้เวลานานและซับซ้อน การใช้วิธีของมัลเลอร์จึงเป็นทางเลือกที่เหมาะสม

ยกตัวอย่างเช่น ธุรกิจด้านการเงินอาจใช้วิธีนี้เพื่อคำนวณหาอัตราผลตอบแทนที่เหมาะสมในตลาดหุ้น นอกจากนี้ ยังสามารถนำไปใช้ในการวิเคราะห์ทัศนศาสตร์ในฟิสิกส์ โดยเฉพาะการหาค่ารากสุดท้ายที่ถูกต้องในกรณีที่ไม่สามารถคำนวณได้โดยตรง

 

การวิเคราะห์ Complexity

อย่างที่เราทราบ วิธีของมัลเลอร์มีความซับซ้อนที่เหมาะสมอยู่ในระดับ O(n^2) ซึ่งยังคงมีความเร็วและประสิทธิผล หากเปรียบเทียบกับวิธีหาค่าติดตามรากอื่น ๆ ค่าจริง ๆ จะขึ้นอยู่กับจำนวนรากที่เราต้องการหามากเช่นกัน

ข้อดีและข้อเสียของอัลกอริธึมนี้

#### ข้อดี

1. มีความแม่นยำสูง: การคำนวณรากที่ได้จะมีความแม่นยำสูงมาก 2. ใช้งานง่าย: ความเข้าใจหลักการทำงานนั้นไม่ซับซ้อนมาก 3. ปรับประยุกต์ได้หลากหลาย: สามารถนำไปใช้กับฟังก์ชันที่หลากหลาย เช่น ฟังก์ชันที่มียูนิต เราไม่จำเป็นต้องเป็นสมการเชิงตัวแปรเท่านั้น

#### ข้อเสีย

1. เป็นไปได้ที่จะคำนวณไม่สำเร็จ: ในบางกรณี อาจไม่พบรากที่แท้จริงของฟังก์ชัน 2. การคำนวณซับซ้อนขึ้น: อาจต้องใช้เวลานานกว่าในการคำนวณ เมื่อเปรียบเทียบกับวิธีง่าย ๆ อื่นๆ เช่น การหาค่ารากแบบนิวตัน-ราฟสัน

 

สรุป

วิธีของมัลเลอร์เป็นการหาค่าติดตามรากที่มีประสิทธิภาพสูง ยิ่งถ้ามองในภาพรวมการวิเคราะห์ความซับซ้อนของมันควรสามารถปรับใช้งานในหลายบริบทได้อย่างดี เหมาะสำหรับนักวิทยาศาสตร์ วิศวกร และนักพัฒนา

หากคุณสนใจในการศึกษาเพิ่มเติมเกี่ยวกับการเขียนโปรแกรมและการใช้ Algorithm อย่างเช่น Muller's Method เราขอเชิญคุณมาร่วมเรียนรู้ที่ EPT (Expert Programming Tutor) ซึ่งเราเปิดการสอนเกี่ยวกับคอมพิวเตอร์โปรแกรมและกลยุทธ์การออกแบบ เพื่อต่อยอดความรู้ของคุณให้ก้าวไกล!

เชิญชวนในการศึกษาเพิ่มเติม

เรียนรู้มากขึ้นกับ EPT เพื่อให้คุณสามารถเข้าใจศาสตร์ทาง Programming ได้ดียิ่งขึ้น และพร้อมขยายทักษะในโลกดิจิทัลที่เปลี่ยนแปลงตลอดเวลา!

 

 

หมายเหตุ: ข้อมูลในบทความนี้อาจจะผิด โปรดตรวจสอบความถูกต้องของบทความอีกครั้งหนึ่ง บทความนี้ไม่สามารถนำไปใช้อ้างอิงใด ๆ ได้ ทาง EPT ไม่ขอยืนยันความถูกต้อง และไม่ขอรับผิดชอบต่อความเสียหายใดที่เกิดจากบทความชุดนี้ทั้งทางทรัพย์สิน ร่างกาย หรือจิตใจของผู้อ่านและผู้เกี่ยวข้อง