รู้จักกับ Muller's Method: การหาค่ารากของสมการด้วยภาษา Julia

 

 

Muller's Method คืออะไร?

Muller's method เป็นเทคนิคที่ใช้ในการหาค่ารากของฟังก์ชันที่ไม่สามารถหาค่าได้จากสมการที่ชัดเจนหรือสมการที่ไม่สามารถใช้วิธีการอื่นได้ง่ายๆ เทคนิคนี้เป็นการรวมกันของสองวิธีที่ใช้ในการหาค่าราก นั่นคือ วิธีการเข้าหาค่ารากอย่างรวดเร็ว (Secant Method) และ วิธีการประมาณค่าโดยการใช้พหุนาม (Polynomial Interpolation)

Muller's Method ใช้ประโยชน์อย่างมากในหลายสาขา เช่น การวิจัยทางวิทยาศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ หรือแม้กระทั่งในการคำนวณทางการเงิน ที่ซึ่งปัญหาการหาค่ารากสามารถพบได้บ่อยครั้ง

 

การทำงานของ Algorithm

Muller's method จะเริ่มจากการเลือกจุดเริ่มต้นสามจุด (x0, x1, x2) ของฟังก์ชันที่เราต้องการหาค่าราก และใช้พหุนามลำดับที่สองเพื่อเข้าใกล้ค่าราก จากนั้นจะคำนวณค่ารากของพหุนามที่ได้จากการเลือกจุดเหล่านั้น แล้วทำการอัพเดทจุดเริ่มต้นซ้ำๆจนกว่าจะได้ค่ารากที่ต้องการ

ขั้นตอนในการทำงาน:

1. เลือกจุดเริ่มต้น: กำหนดจุด \(x_0\), \(x_1\), และ \(x_2\). 2. คำนวณการเปลี่ยนแปลง: คำนวณค่า \(h_0\), \(h_1\), และ \(h_2\) ซึ่งจะใช้ในขั้นตอนการคำนวณรากใหม่ 3. สร้างพหุนาม: สร้างพหุนามจากค่าที่ได้ 4. คำนวณราก: ใช้สูตรในการหาค่ารากจากพหุนามที่เกิดขึ้น 5. อัปเดตค่าจุดและทำซ้ำ: ทำขั้นตอนที่ 2-4 จนกว่าจะได้ค่าที่ต้องการ

 

ตัวอย่าง Code ด้วยภาษา Julia

มาเริ่มเขียนโค้ดที่ใช้ในการหาค่ารากด้วย Muller's method ด้วยภาษา Julia กัน!

 function muller(f, x0, x1, x2, tol=1e-6, max_iter=100)
    for i in 1:max_iter
        h0 = x1 - x0
        h1 = x2 - x1
        d0 = (f(x1) - f(x0)) / h0
        d1 = (f(x2) - f(x1)) / h1

        a = (d1 - d0) / (h1 + h0)
        b = a * h1 + d1
        c = f(x2)

        discriminant = b^2 - 4 * a * c
        if discriminant < 0
            error("Complex root found")
        end

        sqrt_d = sqrt(discriminant)
        x3_1 = x2 - (2 * c) / (b + sqrt_d)
        x3_2 = x2 - (2 * c) / (b - sqrt_d)

        x3 = abs(x3_1) < abs(x3_2) ? x3_1 : x3_2

        if abs(x3 - x2) < tol
            return x3
        end

        x0, x1, x2 = x1, x2, x3
    end

    error("Failed to converge")
end

# ตัวอย่างการใช้งาน
f(x) = x^3 - x - 2  # ฟังก์ชันที่เราต้องการหาค่าราก
root = muller(f, 1.0, 1.5, 2.0)
println("Root: ", root)

การอธิบาย Code

1. ฟังก์ชัน `muller`:

- รับฟังก์ชัน \(f\) และจุด \(x_0\), \(x_1\), \(x_2\) เป็น Input และจะคืนค่ารากของฟังก์ชัน

- ใช้ loop เพื่อทำการคำนวณรากตามขั้นตอนข้างต้น เมื่อเจอค่ารากที่ต้องการจะหยุดทำงาน

2. การกำหนดฟังก์ชัน \(f\):

- ในการทดสอบ จะใช้ฟังก์ชัน \(x^3 - x - 2\) ซึ่งเรารู้ว่ามีรากอยู่ระหว่าง \(1\) ถึง \(2\)

เมื่อรันโค้ดนี้ คุณจะได้ค่ารากในรูปแบบจำนวนจริง ซึ่งการใช้งานง่ายและรวดเร็วมาก!

 

Use Case ในโลกจริง

Muller's method เหมาะสำหรับการใช้งานในหลายๆ สถานการณ์ เช่น:

- การค้นหาค่ารากของสมการทางฟิสิกส์: ในวิศวกรรม ต้องคำนวณค่าที่สนใจ เช่น ค่าความดัน หรืออุณหภูมิที่จุดต่างๆ หรือในโมเดลที่ซับซ้อนทางกายภาพ - การเงิน: การหาค่ารากในโมเดลการคำนวณความเสี่ยง ที่เกี่ยวข้องกับการลงทุน เพื่อช่วยตัดสินใจลงทุน

 

วิเคราะห์ Complexity

Muller's method มีความซับซ้อน O(n^2) ในการหาค่าราก เนื่องจากต้องมีการคำนวณพหุนามและต้องมีการอัพเดตค่าจุด แต่ข้อดีของมันคือสามารถให้ค่ารากที่แม่นยำและรวดเร็ว โดยเฉพาะเมื่อใช้ในฟังก์ชันที่ไม่สามารถหาค่ารากได้จากวิธีอื่นง่าย ๆ

ข้อดีและข้อเสีย

ข้อดี

:

- ความเร็วในการหาค่ารากเมื่อใช้กับฟังก์ชันที่ไม่เป็นเชิงเส้น

- แม่นยำโดยเฉพาะเมื่อทำการใช้หลายๆ จุดสำหรับการประมาณค่า

ข้อเสีย

:

- อาจซับซ้อนและยากต่อการเข้าใจสำหรับผู้เริ่มต้น

- ในบางกรณีอาจให้ค่ารากที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนหากไม่เลือกจุดเริ่มต้นที่ดี

 

เรียนรู้เพิ่มเติมที่ EPT

ในยุคที่เทคโนโลยีอยู่ในลมหายใจของทุกสิ่ง Muller's method เป็นตัวอย่างที่แสดงให้เห็นว่าการเขียนโปรแกรมสามารถทำให้คุณสามารถแก้ปัญหาที่ซับซ้อนได้อย่างมีประสิทธิภาพ! หากคุณสนใจเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับการเขียนโปรแกรม การจัดการฟังก์ชัน และการใช้เทคนิคทางคณิตศาสตร์ในโปรแกรม ติดต่อสอบถามข้อมูลเพิ่มเติมได้ที่ EPT (Expert-Programming-Tutor) แหล่งการศึกษาที่ดีที่สุดสำหรับทุกคนที่ต้องการพัฒนาทักษะด้านการเขียนโปรแกรม!

การเริ่มต้นศึกษาโปรแกรมมิ่งที่ EPT จะทำให้คุณพร้อมเผชิญโลกในรูปแบบใหม่ว่าเทคโนโลยีสามารถเปลี่ยนแปลงได้อย่างไร!

 

 

หมายเหตุ: ข้อมูลในบทความนี้อาจจะผิด โปรดตรวจสอบความถูกต้องของบทความอีกครั้งหนึ่ง บทความนี้ไม่สามารถนำไปใช้อ้างอิงใด ๆ ได้ ทาง EPT ไม่ขอยืนยันความถูกต้อง และไม่ขอรับผิดชอบต่อความเสียหายใดที่เกิดจากบทความชุดนี้ทั้งทางทรัพย์สิน ร่างกาย หรือจิตใจของผู้อ่านและผู้เกี่ยวข้อง