Muller's Method: เทคนิคการหาค่า Root ด้วยภาษา R

 

สร้างความเข้าใจเกี่ยวกับการหาค่าราก (Root Finding) ในคณิตศาสตร์ เชื่อว่าหลายคนที่สนใจในการเขียนโปรแกรมหรือวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ อาจเคยพบกับปัญหาในการหาค่ารากของฟังก์ชันที่ไม่สามารถหาค่ารากได้ด้วยวิธีการตัดทอนหรือวิธีการทั่วไปอื่น ๆ วันนี้เราจะมาพูดถึง Muller's method หนึ่งในวิธีที่ทรงพลังในการหาค่ารากของฟังก์ชันพร้อมตัวอย่างการใช้งานในภาษา R

 

Muller's Method คืออะไร?

Muller's method คือเทคนิคการหาค่ารากของฟังก์ชันเชิงซ้อนโดยใช้การประมาณค่าในรูปของพหุนาม (Polynomial) ระดับที่สองที่ใช้จุดสามจุดที่อยู่ใกล้เคียงกัน ซึ่งจะนำมาคำนวณเพื่อให้ได้ค่ารากที่ต้องการ วิธีนี้ถือว่าเป็นการขยายจากวิธีการหาค่ารากแบบบิสมาร์ค (Secant method) โดยการใช้ข้อมูลจากสามจุดเพื่อเพิ่มความแม่นยำ ในขั้นตอนง่ายๆ มันได้แสดงให้เราเห็นว่าการประมาณค่าเมื่อแสดงเป็นพหุนามทำให้ได้ค่าที่สมเหตุสมผลมากขึ้น

 

การใช้งาน

ในทางปฏิบัติ Muller's method ถูกใช้ในหลายบริบท เช่น ในวิทยาศาสตร์ วิศวกรรม และความคิดสร้างสรรค์ที่ต้องการหาค่ารากของสมการที่ซับซ้อน ตัวอย่างเช่น การหาความเร็วลมในฟิสิกส์ หรือการวิเคราะห์โครงสร้างที่มีความซับซ้อน

ตัวอย่างโค้ดในภาษา R

เรามาดูกันว่าเราจะทำอย่างไรในการใช้ Muller's method ในการหาค่ารากของฟังก์ชันใน R กัน ใส่ตัวฟังก์ชันเช่น \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)

 mullers_method <- function(f, x0, x1, x2, tol, max_iter) {
  for (i in 1:max_iter) {
    h0 <- x1 - x0
    h1 <- x2 - x1
    d0 <- (f(x1) - f(x0)) / h0
    d1 <- (f(x2) - f(x1)) / h1
    a <- (d1 - d0) / (h1 + h0)
    b <- a * h1 + d1
    c <- f(x2)

    discriminant <- b^2 - 4 * a * c
    if (discriminant < 0) {
      message("Discriminant negative, no real root.")
      return(NA)
    }

    sqrt_d <- sqrt(discriminant)

    # เพิ่มการเลือกค่าราก
    if (abs(b + sqrt_d) > abs(b - sqrt_d)) {
      dx <- -2 * c / (b + sqrt_d)
    } else {
      dx <- -2 * c / (b - sqrt_d)
    }

    x3 <- x2 + dx

    # เช็คว่าค่าที่ได้ต้องประมาณได้มากเพียงพอหรือไม่
    if (abs(dx) < tol) {
      return(x3)
    }

    x0 <- x1
    x1 <- x2
    x2 <- x3
  }

  return(x2)
}

# กำหนดฟังก์ชันและค่าเริ่มต้น
f <- function(x) x^3 - 6*x^2 + 11*x - 6
result <- mullers_method(f, 1, 2, 3, tol = 1e-5, max_iter = 100)

cat("The root found is:", result, "\n")

ในโค้ดข้างต้น เราสร้างฟังก์ชัน `mullers_method` ที่รับฟังก์ชัน \( f \) และจุดเริ่มต้น \( x0, x1, x2 \) พร้อมทั้งค่า tol (ความแม่นยำ) และ max_iter (จำนวนรอบสูงสุด) ผลลัพธ์ที่ได้คือรากที่ประมาณค่าของฟังก์ชันต้นฉบับ

 

Complex Analysis

เมื่อเราพูดถึง Complexity ของ Muller's method จะเห็นได้ว่ามันมีความซับซ้อนเชิงเวลา O(n^2) ต่อการหาค่ารากในแต่ละรอบ เป็นผลมาจากการต้องคำนวณพหุนามระยะสอง สำหรับการคำนวณข้อมูลที่ซับซ้อนและจำนวนรากที่ต้องการค้นหา อาจวิเคราะห์ได้ว่าระยะความเร็วของวิธีนี้สูงกว่ากระบวนการค้นหาแบบอื่น ๆ ในบางกรณี

ข้อดีและข้อเสีย

ข้อดี:

1. สามารถหาค่ารากได้แม้ในฟังก์ชันที่มีความซับซ้อน

2. มีการปรับเทียบค่ารากที่รวดเร็วและแม่นยำในบางสถานการณ์

3. สามารถใช้งานได้กับฟังก์ชันที่มีจำนวนรากมาก

ข้อเสีย:

1. อาจมีปัญหาเมื่อ discriminant เป็นลบ (ไม่มีรากจริง)

2. ต้องการจุดเริ่มต้นที่ดีเพื่อให้การค้นหามีประสิทธิภาพ

3. สำหรับฟังก์ชันที่มีความนุ่มนวลมาก การหา root อาจมีความซับซ้อนมากขึ้น

 

สรุป

Muller's method เป็นหนึ่งในอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพในการหาค่ารากของฟังก์ชันที่ไม่สามารถทำได้ด้วยวิธีดั้งเดิม ช่วยให้เราสามารถเข้าถึงผลสัมฤทธิ์ของปัญหาที่ซับซ้อนได้อย่างมีประสิทธิภาพ ในการศึกษาวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์และการเขียนโปรแกรม หากคุณสนใจเรียนรู้เกี่ยวกับการเขียนโปรแกรมเพิ่มเติม ยินดีต้อนรับเข้าสู่ EPT (Expert-Programming-Tutor) ที่เรามีคอร์สเรียนเกี่ยวกับการทำงานด้านอัลกอริธึมและโปรแกรมแบบลึกซึ้ง พร้อมแนะนำเทคนิคที่จะทำให้การค้นหาค่ารากและการวิเคราะห์ข้อมูลทำได้อย่างมีประสิทธิภาพ!

หากสนใจที่จะเข้าร่วมกับเรา สามารถดูรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับการเรียนที่ EPT ได้เลย! ✨

 

 

หมายเหตุ: ข้อมูลในบทความนี้อาจจะผิด โปรดตรวจสอบความถูกต้องของบทความอีกครั้งหนึ่ง บทความนี้ไม่สามารถนำไปใช้อ้างอิงใด ๆ ได้ ทาง EPT ไม่ขอยืนยันความถูกต้อง และไม่ขอรับผิดชอบต่อความเสียหายใดที่เกิดจากบทความชุดนี้ทั้งทางทรัพย์สิน ร่างกาย หรือจิตใจของผู้อ่านและผู้เกี่ยวข้อง