Muller's Method: เจาะลึกวิธีการค้นหาเลขศูนย์ด้วยภาษา Kotlin

 

 

บทนำ

การหาค่าศูนย์ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์เป็นปัญหาที่พบเจอบ่อยในศาสตร์การคำนวณและวิทยาการคอมพิวเตอร์ โดยเฉพาะในวิทยาการนามธรรม (Numerical Analysis) หนึ่งในวิธีที่น่าสนใจในการค้นหาค่าศูนย์คือ Muller's Method ซึ่งเป็นวิธีการที่ใช้เทคนิคการประมาณเชิงพีชคณิตที่มีประสิทธิภาพ ในบทความนี้ เราจะมาทำความรู้จักกับ Muller's Method ให้ดีขึ้น โดยจะมีการอธิบายวิธีการทำงาน พร้อมทั้งตัวอย่างโค้ดในภาษา Kotlin และการวิเคราะห์ Complexities ของ Algorithm นี้

 

Muller's Method คืออะไร?

Muller's Method เป็นวิธีการหาค่าศูนย์ของฟังก์ชันที่นำเสนอโดย *Muller* ในปี 1956 โดยเป็นวิธีเชิงเลเชียน (Quadratic) ที่ใช้การประมาณค่าแบบพหุนามระดับที่สอง แทนที่จะใช้วิธีเชิงเส้น (Linear) ที่มีการประมาณค่าแบบพหุนามระดับหนึ่ง ซึ่ง Muller's Method มีข้อได้เปรียบในการหาค่าศูนย์ที่อาจมีความซับซ้อนมากขึ้น หรือในกรณีที่ฟังก์ชันมีค่าศูนย์ที่อยู่ใกล้กัน

วิธีการทำงาน

Muller's Method จะสร้างพหุนามที่ทำการฟิต (Fit) กับจุด 3 จุด คือ \(x_0\), \(x_1\), และ \(x_2\) ซึ่งเป็นค่าช่วยในการประเมินค่าศูนย์ จากนั้นจะใช้พหุนามนี้ในการคำนวณหาค่าศูนย์ใหม่ \(x_3\) ด้วยสูตรดังนี้:

\[

H = \sqrt{(x_2 - x_1)(f(x_2) - f(x_1)) - (x_2 - x_0)(f(x_2) - f(x_0))}

\]

จากนั้นจะได้:

\[

x_3 = x_2 - \frac{2f(x_2)}{(H \text{ หรือ } x_2 - x_1)}

\]

ตัวอย่างโค้ดใน Kotlin

ขอแนะนำโค้ดตัวอย่างง่าย ๆ ในการใช้ Muller's Method เพื่อหาค่าศูนย์ของฟังก์ชัน \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\):

 import kotlin.math.sqrt

fun f(x: Double): Double {
    return x * x * x - 6 * x * x + 11 * x - 6
}

fun mullersMethod(x0: Double, x1: Double, x2: Double, epsilon: Double): Double {
    var x0 = x0
    var x1 = x1
    var x2 = x2
    var f0 = f(x0)
    var f1 = f(x1)
    var f2 = f(x2)

    while (Math.abs(f2) > epsilon) {
        val h1 = x1 - x0
        val h2 = x2 - x1
        val delta1 = (f1 - f0) / h1
        val delta2 = (f2 - f1) / h2
        val d = (delta2 - delta1) / (h2 + h1)

        val b = delta2 + h2 * d
        val discriminant = b * b - 4 * f2 * d

        if (discriminant < 0) {
            throw IllegalArgumentException("Discriminant is negative, no real root found")
        }

        val sqrtDisc = sqrt(discriminant)
        val x3 = x2 - (2 * f2 / if (b + sqrtDisc > b - sqrtDisc) b + sqrtDisc else b - sqrtDisc)

        x0 = x1
        x1 = x2
        x2 = x3
        f0 = f1
        f1 = f2
        f2 = f(x2)
    }

    return x2
}

fun main() {
    val root = mullersMethod(0.0, 3.0, 4.0, 1e-6)
    println("Root found: $root")
}

 

Use Case ในโลกจริง

Muller's Method มักใช้ในวิศวกรรมและฟิสิกส์ เพื่อหาค่าศูนย์ของฟังก์ชันเมื่อพยายามคำนวณการตอบสนองของระบบจำลองต่าง ๆ เช่น การคำนวณจุดดึง (Stress Points) ในโครงสร้าง หรือการหาจุดที่มีความดันต่ำสุดในทางอากาศพลศาสตร์ นอกจากนี้ยังสามารถนำไปใช้ในโมเดลทางเศรษฐศาสตร์ ที่มีฟังก์ชันที่มีความซับซ้อน

 

การวิเคราะห์ Complexity

Complexity ของ Muller's Method มักจะประมาณอยู่ที่ \(O(n^{1})\) ซึ่งขึ้นอยู่กับจำนวนการทำงานที่จำเป็นในการหาค่าศูนย์ที่แท้จริง อย่างไรก็ตามในกรณีที่มีการหาค่าศูนย์ที่ซับซ้อน อาจมีการลงไปถึง \(O(n^{2})\) ได้

 

ข้อดีและข้อเสีย

ข้อดี:

1. ความแม่นยำสูง: Muller's Method สามารถให้ผลลัพธ์ที่มีความแม่นยำสูงเมื่อเปรียบเทียบกับวิธีอื่น ๆ เนื่องจากใช้การประมาณค่าแบบพหุนามที่สูงกว่า 2. หาได้ในฟังก์ชันที่ซับซ้อน: เหมาะสำหรับฟังก์ชันที่มีค่าศูนย์จำนวนมากและใกล้กัน

ข้อเสีย:

1. ความซับซ้อนในการคำนวณ: การคำนวณมีความซับซ้อนมากกว่าวิธีเชิงเส้น 2. อาจหาค่าศูนย์ได้ยาก: ในบางครั้ง อาจเกิดปัญหาในกรณีที่มี discriminant ที่ติดลบซึ่งไม่สามารถหาค่าศูนย์ได้

 

สรุป

Muller's Method เป็นวิธีการที่มีความน่าสนใจสำหรับการหาค่าศูนย์ของฟังก์ชัน โดยเฉพาะในปัญหาที่ซับซ้อนในโลกจริง การนำเข้าไปใช้ในโค้ดภาษา Kotlin ก็เป็นตัวอย่างหนึ่งในการแสดงถึงวิธีการนี้ ซึ่งจะช่วยให้คุณสามารถคำนวณค่าศูนย์ได้อย่างมีประสิทธิภาพ

หากคุณต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับการเขียนโปรแกรมเช่นนี้ พร้อมเทคนิคและวิธีการต่าง ๆ เพื่อเสริมสร้างทักษะการเขียนโปรแกรมของคุณ สามารถเข้ามาเรียนที่ EPT (Expert-Programming-Tutor) เพื่อเป็นผู้เชี่ยวชาญในทักษะการเขียนโปรแกรมของคุณได้เลย!

 

 

หมายเหตุ: ข้อมูลในบทความนี้อาจจะผิด โปรดตรวจสอบความถูกต้องของบทความอีกครั้งหนึ่ง บทความนี้ไม่สามารถนำไปใช้อ้างอิงใด ๆ ได้ ทาง EPT ไม่ขอยืนยันความถูกต้อง และไม่ขอรับผิดชอบต่อความเสียหายใดที่เกิดจากบทความชุดนี้ทั้งทางทรัพย์สิน ร่างกาย หรือจิตใจของผู้อ่านและผู้เกี่ยวข้อง