Muller's Method ในการหาค่ารากของฟังก์ชันโดยใช้ Haskell

 

การหาค่ารากของฟังก์ชัน (Root finding) เป็นงานคณิตศาสตร์ที่สำคัญในการพัฒนาโปรแกรมคอมพิวเตอร์และแอปพลิเคชันต่างๆ ในการหารากของฟังก์ชัน เรามีวิธีการหลายรูปแบบหนึ่งในนั้นคือ “Muller’s Method” ซึ่งเป็นวิธีการที่จะแก้ไขปัญหาค่ารากด้วยเทคนิค interpolation

 

Muller's Method คืออะไร?

Muller’s Method เป็นเทคนิคการหาค่ารากของฟังก์ชันที่ใช้การประมาณค่าของรากในรูปแบบของพหุนาม โดยใช้จุดสามจุดที่ใกล้เคียงกันในช่วงค่าราก ณ จุดที่เราไม่ทราบเพื่อหาค่ารากที่ใกล้เคียงที่สุด วิธีนี้สามารถใช้ได้กับฟังก์ชันที่ไม่เชิงเส้น (Nonlinear function) และมีประสิทธิภาพในการหาค่าราก

โดยหลักการแล้ว วิธีนี้จะทำงานคล้ายกับ Newton's Method แต่มีความยืดหยุ่นกว่า เพราะมันสามารถค้นหาค่ารากที่อยู่ในช่วงที่ไม่แน่นอนและสามารถทำงานได้ดีกับฟังก์ชันที่ไม่มีค่ารากจริงเสมอไป เมื่อเรามีจุด \(x_0\), \(x_1\), และ \(x_2\) วิธีนี้จะใช้ค่าสมการพหุนามที่สร้างจากจุดสามจุดนี้ในการหาค่าราก

 

Use Case ในโลกจริง

1. การวิเคราะห์ทางวิศวกรรม: Muller's Method สามารถใช้ในการวิเคราะห์การออกแบบโครงสร้างที่ต้องใช้ค่ารากเพื่อหาสถานะที่เหมาะสมของระบบ เช่น การออกแบบสะพานหรืออาคาร 2. ฟิสิกส์เคมี: ใช้ในการวิเคราะห์สมการที่ไม่เชิงเส้น ซึ่งสามารถปรากฏในระบบเคมี เช่น การหาค่าที่สมดุลในปฏิกิริยาเคมี 3. การคาดการณ์ทางเศรษฐศาสตร์: ในการวิเคราะห์และคำนวณแบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์ที่มีหลายตัวแปรอาจเก็บค่าจากหลายจุดเพื่อหาค่าราก

 

ตัวอย่าง Code โดยใช้ Haskell

เราจะเขียนฟังก์ชันที่ใช้ Muller's Method ในการหาค่ารากในภาษา Haskell

 
module Muller where



import Data.Complex



-- ฟังก์ชันที่เราต้องการหาค่าราก

f :: Complex Double -> Complex Double

f x = x^3 - (1 + 2 * (0.5 :+ 0.8660254038)) * x^2 + (0.5 :+ 0.8660254038) * x - 1



-- ฟังก์ชันมุลเลอร์

muller :: (RealFloat a) => (Complex a -> Complex a) -> Complex a -> Complex a -> Complex a -> a -> (Complex a, Int)

muller f x0 x1 x2 tol = go x0 x1 x2 0

    where

      go xn1 xn2 xn3 iterations

          | abs (f xn3) < tol = (xn3, iterations)

          | iterations >= 100 = (xn3, iterations) -- limit to 100 iterations

          | otherwise = let h1 = xn2 - xn1

                            h2 = xn3 - xn2

                            d = (f xn2 - f xn1) / h1

                            e = (f xn3 - f xn2) / h2

                            a = (e - d) / (h2 + h1)

                            b = (a * h2) + e

                            c = f xn3

                            disc = sqrt (b * b - 4 * a * c)

                            root1 = xn3 - (2 * c) / (b + disc)

                            root2 = xn3 - (2 * c) / (b - disc)

                        in if abs root1 < abs root2 then go xn2 xn3 root1 tol

                           else go xn2 xn3 root2 tol



main :: IO ()

main = do

    let (root, iterations) = muller f (0 :+ 0) (1 :+ 0) (0.5 :+ 0.5) 0.00001

    putStrLn $ "Root: " ++ show root ++ ", Iterations: " ++ show iterations

ในตัวอย่างนี้ เราจะเห็นว่าเราได้กำหนดฟังก์ชัน \(f\) ที่เราต้องการหาค่ารากและฟังก์ชัน `muller` ซึ่งทำการคำนวณตามวิธีของ Muller แล้วจะแสดงผลลัพธ์ของรากที่ได้จากการคำนวณ

 

วิเคราะห์ Complexity

Muller’s Method มีความซับซ้อนเชิงเวลา (Time Complexity) อยู่ที่ \(O(n)\) สำหรับการคำนวณจำนวนรากตามจำนวนการวนรอบ (Iteration) โดยทั่วไปแล้วมันสามารถรวบรวมค่ารากได้อย่างรวดเร็วเมื่อเทียบกับวิธีอื่น ๆ เช่น Bisection Method และ Newton's Method แต่การประมาณค่ารากที่ไม่ถูกต้องอาจทำให้เกิดปัญหาที่ทำให้ได้คำตอบที่สับสนหรือผิดพลาดได้

 

ข้อดีข้อเสียของ Algorithm นี้

ข้อดี

1. ความเร็วในการ Convergence: การประมาณค่ารากจะเร็วขึ้นเมื่อใกล้ค่าราก 2. ยืดหยุ่น: สามารถใช้กับฟังก์ชันที่ซับซ้อนและไม่สม่ำเสมอ 3. สามารถจัดการค่ารากที่จริงและเชิงซ้อน: สามารถหาค่ารากในรูปแบบเชิงซ้อนได้

ข้อเสีย

1. มีความซับซ้อนในการดำเนินการ: ต้องคำนวณค่าัคณัตต่างๆ ซึ่งอาจทำให้ความยุ่งยากมากขึ้นในบางกรณี

2. อาจจะได้คำตอบที่สับสน: ถ้ามีจุดเริ่มต้นที่ไม่เหมาะสมอาจส่งผลให้คำตอบผิดพลาด

 

สรุป

Muller's Method เป็นวิธีการที่มีประสิทธิภาพในการหาค่ารากของฟังก์ชัน non-linear ที่มีความยืดหยุ่นและเหมาะสำหรับฟังก์ชันที่ซับซ้อน หากคุณสนใจเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับการโปรแกรมใน Haskell หรือการพัฒนาวิธีการคำนวณค่ารากอื่นๆ อย่าลืมติดต่อเรียนรู้กับ EPT (Expert-Programming-Tutor) เพื่อเปิดโลกแห่งการพัฒนาซอฟต์แวร์อย่างมีประสิทธิภาพ。

 

 

หมายเหตุ: ข้อมูลในบทความนี้อาจจะผิด โปรดตรวจสอบความถูกต้องของบทความอีกครั้งหนึ่ง บทความนี้ไม่สามารถนำไปใช้อ้างอิงใด ๆ ได้ ทาง EPT ไม่ขอยืนยันความถูกต้อง และไม่ขอรับผิดชอบต่อความเสียหายใดที่เกิดจากบทความชุดนี้ทั้งทางทรัพย์สิน ร่างกาย หรือจิตใจของผู้อ่านและผู้เกี่ยวข้อง