Title: หารากของฟังชันด้วย Muller's Method ด้วยภาษา Fortran

 

 

บทนำ

ในโลกของการเขียนโปรแกรมและการประยุกต์ใช้งานทางคณิตศาสตร์ มีกระบวนการที่เรียกว่า “Muller’s Method” ที่เป็นเครื่องมือสำคัญในการหาค่ารากของฟังก์ชันที่ไม่สามารถหาค่ารากได้ง่าย ๆ ด้วยวิธีการทั่วไป บทความนี้จะอธิบายเกี่ยวกับ Muller's Method ทั้งในด้านการทำงานและตัวอย่างการเขียนโปรแกรมในภาษา Fortran นอกจากนี้เราจะทำการวิเคราะห์ความซับซ้อน (complexity) และกล่าวถึงข้อดีและข้อเสียของอัลกอริธึมนี้

 

Muller's Method คืออะไร?

Muller’s Method เป็นอัลกอริธึมประเภทหนึ่งที่ใช้ในการหาค่ารากของฟังก์ชัน (root-finding algorithm) โดยจะใช้เทคนิคการประมาณตำแหน่งของรากฟังก์ชันด้วยพาราโบลา ซึ่งได้แก่การใช้จุด 3 จุด โดยจะทำการประมาณรูปแบบของพาราโบลาเพื่อหาค่ารากที่ใกล้ที่สุด วิธีนี้เหมาะสมกับฟังก์ชันที่มีลักษณะไม่เป็นเชิงเส้น (non-linear) หรือลักษณะที่ซับซ้อน

การทำงานของ Muller's Method

1. การเลือกจุดเริ่มต้น: เริ่มต้นด้วยการเลือกจุด 3 จุด ซึ่งเราจะเรียกว่า \( x_0, x_1, x_2 \) 2. การสร้างพาราโบลา: สร้างพาราโบลาที่ผ่านจุด \( (x_0, f(x_0)), (x_1, f(x_1)), (x_2, f(x_2)) \) 3. การหาค่าราก: ใช้สูตรในการหาค่ารากจากพาราโบลาที่สร้างขึ้น 4. การอัปเดตจุด: อัปเดตจุด \( x_0, x_1, x_2 \) และทำซ้ำจนกว่าจะได้รากที่ต้องการ

 

ตัวอย่างโค้ดด้วยภาษา Fortran

ต่อไปนี้คือตัวอย่างโค้ดง่าย ๆ ที่แสดงถึงการใช้ Muller's Method ในภาษา Fortran:

 program mullers_method
    implicit none
    real(8) :: x0, x1, x2, x_next, fx0, fx1, fx2, fx_next
    integer :: iter, max_iter
    real(8) :: tol

    ! Initialization
    x0 = 1.0d0
    x1 = 1.5d0
    x2 = 2.0d0
    tol = 1.0d-6
    max_iter = 100

    ! Begin iteration
    do iter = 1, max_iter
        fx0 = func(x0)
        fx1 = func(x1)
        fx2 = func(x2)

        ! Calculate new approximation using the Muller's formula
        x_next = x2 - ( (fx2 * (x1 - x0)**2) - (fx1 * (x2 - x0)**2) ) / &
                    (fx2 * (x1 - x0) * (x2 - x0) - fx1 * (x2 - x0) * (x1 - x0))

        fx_next = func(x_next)

        if (abs(fx_next) < tol) exit

        ! Update points
        x0 = x1
        x1 = x2
        x2 = x_next
    end do

    print *, 'Root found at: ', x_next
end program mullers_method

function func(x)
    real(8) :: func
    real(8), intent(in) :: x

    ! Example function f(x) = x^3 - 2x - 5
    func = x**3 - 2*x - 5
end function func

 

Use Case ในโลกจริง

Muller’s Method มักถูกนำไปใช้ในการประยุกต์ทางวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม เช่น:

- การหาค่ารากของฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับการวิจัยทางฟิสิกส์ เช่น สมการคลื่น

- ในคอมพิวเตอร์กราฟิกส์ เพื่อหาค่าที่ต้องการในการสร้างภาพทรงสามมิติที่ซับซ้อน

- ในการคำนวณด้านการเงิน การหาค่ารากของฟังก์ชันที่ใช้ในการวิเคราะห์การลงทุน

 

การวิเคราะห์ Complexity

Muller’s Method มีความซับซ้อนอยู่ที่ประมาณ \( O(n) \) สำหรับการหาค่ารากในแต่ละครั้ง และที่สำคัญที่สุดคือมันมีความเร็วในการหาค่ารากที่ดีกว่าวิธีการปกติในบางกรณี ส่วนใหญ่จะมีอัตราการเข้าหาที่เร็วขึ้น (quadratic convergence) ซึ่งทำให้วิธีนี้มีประสิทธิภาพมากในหลายกรณี

 

ข้อดีข้อเสียของ Muller's Method

ข้อดี:

- มีประสิทธิภาพ: สามารถหาค่ารากได้อย่างรวดเร็วในหลายกรณี โดยเฉพาะเมื่อเปรียบเทียบกับวิธีการง่าย ๆ เช่น Newton’s Method - สามารถใช้งานกับฟังก์ชันที่ซับซ้อนได้: ไม่จำเป็นต้องมีอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ข้อเสีย:

- การเลือกจุดเริ่มต้น: คุณภาพของผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับจุดเริ่มต้นที่เลือก - การคำนวณที่ซับซ้อน: การสร้างพาราโบลาสามารถทำให้กระบวนการมีความยุ่งยากเพิ่มขึ้น

 

สรุป

Muller’s Method เป็นอัลกอริธึมที่มีพลังในการหาเรากกของฟังก์ชันที่ไม่สามารถทำได้โดยวิธีทั่วไป แม้ว่าจะมีความซับซ้อนในการใช้งาน แต่ถ้าหากคุณต้องการศึกษาเพิ่มเติมเกี่ยวกับการเขียนโปรแกรมและการใช้อัลกอริธึมในการแก้ไขปัญหาเชิงคณิตศาสตร์ เราขอเชิญชวนคุณมาที่ EPT (Expert-Programming-Tutor) ที่จะช่วยคุณให้มีทักษะในการเขียนโปรแกรมและเข้าใจเทคนิคต่าง ๆ อย่างลึกซึ้งมากยิ่งขึ้น!

 

 

หมายเหตุ: ข้อมูลในบทความนี้อาจจะผิด โปรดตรวจสอบความถูกต้องของบทความอีกครั้งหนึ่ง บทความนี้ไม่สามารถนำไปใช้อ้างอิงใด ๆ ได้ ทาง EPT ไม่ขอยืนยันความถูกต้อง และไม่ขอรับผิดชอบต่อความเสียหายใดที่เกิดจากบทความชุดนี้ทั้งทางทรัพย์สิน ร่างกาย หรือจิตใจของผู้อ่านและผู้เกี่ยวข้อง