Gaussian Elimination กับการเขียนโปรแกรมใน Haskell

Gaussian Elimination คืออะไร?

Gaussian Elimination หรือที่เรียกกันทั่วไปว่า "การกำจัดของเกาส์" เป็นวิธีการทางคณิตศาสตร์ที่ใช้แก้ระบบสมการเชิงเส้น ซึ่งมีประโยชน์อย่างยิ่งในสาขาคณิตศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ และวิทยาการคอมพิวเตอร์ โดยพื้นฐานแล้ว กลยุทธ์นี้จะทำให้เราแปลงระบบสมการที่อยู่ในรูปแบบ matrix ให้เป็นรูปแบบที่ง่ายกว่า ซึ่งก็คือ "Row Echelon Form" หรือ "Reduced Row Echelon Form" เพื่อทำให้สามารถหาค่าเฉพาะของตัวแปรได้นั่นเอง

การใช้งาน Gaussian Elimination

Gaussian Elimination มีการใช้งานที่หลากหลาย เช่น:

- แก้ระบบสมการเชิงเส้น

- บทบาทในการวิเคราะห์ข้อมูล

- ใช้ในการคำนวณค่าเชิงตัวเลขในวิศวกรรม

- ใช้ในการแก้ปัญหาทางด้านเศรษฐศาสตร์และการเงิน

ใช้ตัวอย่างโค้ดใน Haskell

เรามาเขียนโค้ด Haskell กันดีกว่าที่จะแสดงถึงการใช้งาน Gaussian Elimination ในการแก้ปัญหาระบบสมการเชิงเส้น โดยโค้ดตัวอย่างนี้จะแสดงให้เห็นถึงการแปลง matrix และหาค่าตัวแปรจากค่าใน matrix

 type Matrix = [[Double]]
type Vector = [Double]

gaussianElimination :: Matrix -> Vector -> Vector
gaussianElimination a b = backSubstitute (forwardEliminate a b)

forwardEliminate :: Matrix -> Vector -> Matrix
forwardEliminate a b = foldl eliminate a [(i, b !! i) | i <- [0 .. length a - 1]]
  where
    eliminate a (i, bi) = foldl (eliminateRow i bi) a [(j, a !! j !! i) | j <- [i + 1 .. length a - 1]]

    eliminateRow i bi a (j, aj) =
      let factor = aj / a !! i !! i
      in zipWith (-) (a !! j) (map (* factor) (a !! i))

backSubstitute :: Matrix -> Vector -> Vector
backSubstitute a b = go n
  where
    n = length b
    go i =
      if i < 0 then []
      else (b !! i - sum [a !! i !! j * (go (i - 1) !! j) | j <- [i + 1 .. n - 1]]) / a !! i !! i : go (i - 1)

exampleMatrix :: Matrix
exampleMatrix = [[2, 1, -1], [3, 2, -1], [1, -1, 2]]

exampleVector :: Vector
exampleVector = [8, 13, 3]

main :: IO ()
main = do
  let solution = gaussianElimination exampleMatrix exampleVector
  print solution

อธิบายโค้ด

โค้ดตัวอย่างนี้เริ่มต้นโดยการกำหนด type สำหรับ Matrix และ Vector โดย `gaussianElimination` เป็นฟังก์ชันหลักที่เชื่อมโยงกระบวนการทั้งสองแบบคือ `forwardEliminate` และ `backSubstitute`.

- ฟังก์ชัน `forwardEliminate` จะทำการลดรูป matrix ให้อยู่ในรูปแบบ Row Echelon Form โดยการลบแถวที่อยู่ด้านล่างตามค่าในแถวด้านบน

- ฟังก์ชัน `backSubstitute` จะหาค่าตัวแปรจาก matrix ที่ลดรูปแล้ว โดยทำการย้อนกลับหาค่าตัวแปรทีละตัวจากล่างขึ้นบน

Use Case ในโลกจริง

การใช้ Gaussian Elimination สามารถเห็นได้ในหลาย ๆ สถานการณ์ในชีวิตจริง เช่น:

การวิเคราะห์ Complexity

สำหรับการวิเคราะห์ความซับซ้อนของ Gaussian Elimination โดยทั่วไปจะมีความซับซ้อนของเวลาเป็น O(n^3) ซึ่งหมายความว่าเมื่อจำนวนตัวแปรเพิ่มขึ้น จะต้องใช้เวลามากขึ้นในการคำนวณ นอกจากนี้ยังมีการใช้หน่วยความจำ O(n^2) เนื่องจากเราเก็บค่าในรูปแบบ matrix.

ข้อดี ข้อเสียของ Gaussian Elimination

ข้อดี:

- สามารถใช้งานได้กับระบบสมการที่ต้องการการหาค่าหลายตัวแปรได้ในเวลาเดียวกัน

- เป็นวิธีการที่ตรงไปตรงมาง่ายต่อการเข้าใจ

ข้อเสีย:

- หาก matrix นั้นมีจำนวนมาก หรือระบบสมการเป็นที่ไม่เสถียร อาจทำให้เกิดข้อผิดพลาดในการคำนวณ

- ความยุ่งยากที่ต้องจัดการก้อนข้อมูลขนาดใหญ่ เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงรูปแบบ matrix

แนะนำให้ศึกษา เพิ่มเติมที่ EPT

หากคุณสนใจในการเรียนรู้เกี่ยวกับการเขียนโปรแกรมและเทคนิคทางคณิตศาสตร์เพิ่มเติม รวมถึงการใช้ภาษา Haskell และการสร้างโค้ดที่น่าสนใจ, แนะนำให้คุณมาเรียนที่ EPT (Expert-Programming-Tutor) เพื่อพัฒนาทักษะการเขียนโปรแกรมของคุณให้ก้าวหน้าไปอีกขั้น!

การเรียนรู้วิธีการต่าง ๆ ในการแก้ไขปัญหานั้นเป็นอีกหนึ่งกุญแจสำคัญที่จะทำให้คุณประสบความสำเร็จในโลกของการพัฒนาโปรแกรม!

หมายเหตุ: ข้อมูลในบทความนี้อาจจะผิด โปรดตรวจสอบความถูกต้องของบทความอีกครั้งหนึ่ง บทความนี้ไม่สามารถนำไปใช้อ้างอิงใด ๆ ได้ ทาง EPT ไม่ขอยืนยันความถูกต้อง และไม่ขอรับผิดชอบต่อความเสียหายใดที่เกิดจากบทความชุดนี้ทั้งทางทรัพย์สิน ร่างกาย หรือจิตใจของผู้อ่านและผู้เกี่ยวข้อง