ทำความรู้จักกับ Gaussian Elimination: อัลกอริธึมยอดนิยมสำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

 

การศึกษาคณิตศาสตร์ไม่เพียงแค่เปิดโลกให้เราเข้าใจพลศาสตร์ของตัวเลขและสมการ แต่ยังช่วยพัฒนาทักษะในการคิดเชิงวิพากษ์อีกด้วย ในบทความนี้ เราจะมาทำความรู้จักกับ Gaussian Elimination ซึ่งเป็นอัลกอริธึมที่ใช้ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น (Linear Equation) โดยเราจะเขียนตัวอย่างโค้ดในภาษา PHP เพื่อช่วยในการทำความเข้าใจ

 

Gaussian Elimination คืออะไร?

**Gaussian Elimination** เป็นอัลกอริธึมที่ถูกพัฒนาโดย **Carl Friedrich Gauss** โดยใช้ในการหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น อัลกอริธึมนี้มีหลักการดำเนินการที่เข้าใจง่าย ประกอบด้วยสามขั้นตอนหลักได้แก่:

1. Forward Elimination – แปลงระบบสมการให้เป็นรูปแบบที่เรียกว่า “Upper Triangular Form” 2. Back Substitution – หาค่าของตัวแปรจากระบบสมการที่ถูกแปลงแล้ว 3. แก้ไขผลลัพธ์ – ปรับจูนเพื่อลดความซับซ้อน

ใช้แก้ปัญหาอะไร?

Gaussian Elimination ถูกใช้ในหลายแวดวงของวิทยาการคอมพิวเตอร์ วิศวกรรมศาสตร์ และสาขาที่เกี่ยวข้องกับการวิเคราะห์ข้อมูล เช่น การวิเคราะห์ไฟไนต์เอลิเมนต์ (Finite Element Analysis) และการคำนวณในกราฟฟิกส์ 3 มิติ

 

ตัวอย่างโค้ดด้วยภาษา PHP

มาดูกันที่ตัวอย่างโค้ดเพื่อช่วยแสดงแนวทางการใช้งาน Gaussian Elimination ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ด้วย PHP:

 <?php

function gaussianElimination(&$matrix) {
    $n = count($matrix);

    // Forward Elimination
    for ($i = 0; $i < $n; $i++) {
        // Swap rows if necessary
        for ($k = $i + 1; $k < $n; $k++) {
            if (abs($matrix[$k][$i]) > abs($matrix[$i][$i])) {
                $temp = $matrix[$i];
                $matrix[$i] = $matrix[$k];
                $matrix[$k] = $temp;
            }
        }

        // Eliminate variable
        for ($j = $i + 1; $j < $n; $j++) {
            $factor = $matrix[$j][$i] / $matrix[$i][$i];
            for ($k = $i; $k < $n + 1; $k++) {
                $matrix[$j][$k] -= $factor * $matrix[$i][$k];
            }
        }
    }

    // Back Substitution
    $result = array_fill(0, $n, 0);
    for ($i = $n - 1; $i >= 0; $i--) {
        $result[$i] = $matrix[$i][$n];
        for ($j = $i + 1; $j < $n; $j++) {
            $result[$i] -= $matrix[$i][$j] * $result[$j];
        }
        $result[$i] /= $matrix[$i][$i];
    }

    return $result;
}

$matrix = [
    [2, -1,  1,  8],
    [-3,  3,  9,  0],
    [-2,  1,  5, -2]
];

$result = gaussianElimination($matrix);
print_r($result);
?>

คำอธิบายโค้ด

ในโค้ดด้านบน ฟังก์ชัน `gaussianElimination` รับค่า matrix ที่เก็บข้อมูลของระบบสมการเชิงเส้น โดยแถวสุดท้ายจะเป็นผลลัพธ์ที่เราต้องการจะทราบ

- Forward Elimination: ใน loop แรก เราจะจัดเรียงแถวและตัดตัวแปรออก - Back Substitution: เราจะหาค่าของตัวแปร ตามลำดับจากค่าในแถวล่างขึ้นมาถึงแถวบน

ผลลัพธ์ของการคำนวณจะแสดงค่าของตัวแปรที่เป็นคำตอบของระบบสมการ

 

Usecase ในโลกจริง

หนึ่งในกรณีการใช้ Gaussian Elimination ที่น่าสนใจคือใน การวิเคราะห์โครงสร้าง ในวิศวกรรมโยธา ซึ่งจะช่วยในการหาความเครียดของวัสดุในบริบทต่างๆ ตัวอย่างเช่น การวิเคราะห์โครงสร้างของสะพาน โดยใช้ Gaussian Elimination คำนวณความเครียดที่เกิดขึ้นในแต่ละรีบบาร์ได้อย่างมีประสิทธิภาพ

 

วิเคราะห์ Complexity

ความซับซ้อนของ Gaussian Elimination อยู่ที่ O(n^3) โดยที่ n คือจำนวนตัวแปรหรือขนาดของเมทริกซ์ ซึ่งหมายความว่า อัลกอริธึมนี้ทำงานได้ดีที่สุดสำหรับปัญหาขนาดเล็กถึงปานกลาง ส่วนปัญหาขนาดใหญ่หรือซับซ้อนมาก อาจจะต้องพิจารณาใช้เทคนิคอื่นๆ

ข้อดีข้อเสียของ Algorithm นี้

#### ข้อดี:

- ง่ายต่อการเข้าใจและใช้งาน

- เหมาะสมกับระบบสมการขนาดเล็กถึงปานกลาง

- ใช้งานได้ในหลากหลายสาขา

#### ข้อเสีย:

- ความซับซ้อนเชิงเวลาสูง (O(n^3))

- อาจมีปัญหาเมื่อต้องจัดการกับระบบสมการที่มีตัวแปรเกินไป

- ความแม่นยำอาจลดลงในระบบที่มีการประมาณค่า

 

สรุป

Gaussian Elimination เป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์ในการแก้ไขระบบสมการเชิงเส้น ด้วยความเข้าใจในอัลกอริธึมนี้ คุณจะสามารถนำไปใช้ในโปรเจคต่างๆ ไม่ว่าจะเป็นการวิเคราะห์โครงสร้าง การประมวลผลภาพ และอื่นๆ อีกมากมาย

หากคุณสนใจที่จะศึกษาลึกซึ้งและพัฒนาทักษะทางด้านการเขียนโค้ดและการทำความเข้าใจอัลกอริธึมนี้ อย่าลืมมาลงเรียนกับเราได้ที่ EPT (Expert-Programming-Tutor) ที่ซึ่งคุณจะได้เรียนรู้จากผู้เชี่ยวชาญและพัฒนาทักษะทางด้านการเขียนโปรแกรมอย่างเชี่ยวชาญ!

 

 

หมายเหตุ: ข้อมูลในบทความนี้อาจจะผิด โปรดตรวจสอบความถูกต้องของบทความอีกครั้งหนึ่ง บทความนี้ไม่สามารถนำไปใช้อ้างอิงใด ๆ ได้ ทาง EPT ไม่ขอยืนยันความถูกต้อง และไม่ขอรับผิดชอบต่อความเสียหายใดที่เกิดจากบทความชุดนี้ทั้งทางทรัพย์สิน ร่างกาย หรือจิตใจของผู้อ่านและผู้เกี่ยวข้อง