การใช้ Gaussian Elimination ในการแก้สมการเชิงเส้นด้วย COBOL

 

ในโลกของคอมพิวเตอร์ โปรแกรมเมอร์หลายคนต้องเผชิญกับปัญหาการแก้สมการเชิงเส้น ซึ่งเป็นพื้นฐานที่สำคัญในด้านคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ หนึ่งในอัลกอริธึมที่ได้รับความนิยมในการแก้ปัญหานี้คือ **Gaussian Elimination** อัลกอริธึมนี้ช่วยให้เราสามารถหาค่าตัวแปรในสมการเชิงเส้นที่มีหลายตัวแปรได้อย่างมีประสิทธิภาพ ในบทความนี้เราจะทำความเข้าใจเกี่ยวกับอัลกอริธึมนี้อย่างละเอียด รวมถึงตัวอย่างการเขียนโปรแกรมด้วยภาษา **COBOL** และเราจะวิเคราะห์ความซับซ้อน (Complexity) รวมถึงข้อดีข้อเสียของอัลกอริธึมนี้ด้วย

 

Gaussian Elimination คืออะไร?

**Gaussian Elimination** หรือการกำจัดของเกาส์ เป็นเทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในการแก้ปัญหาความสัมพันธ์เชิงเส้น สำหรับการทำงานของอัลกอริธึมนี้ คือ การลดรูปสมการเพื่อให้สามารถหาค่าตัวแปรที่ต้องการได้ โดยทำการแปลงรูปสมการให้เข้ารูปแบบของ **Row Echelon Form** และ **Reduced Row Echelon Form** (RREF)

กระบวนการทำงาน

1. Forward Elimination: ลดสมการให้อยู่ในรูปที่ทำให้สามารถมองเห็นค่าตัวแปรได้ง่ายขึ้น โดยการลบแถว (rows) ที่มีตัวแปรที่ใหญ่ที่สุดออก 2. Back Substitution: ใช้ข้อมูลที่ได้จากการลดสมการในขั้นตอนแรก มาคำนวณหาค่าตัวแปรที่เราต้องการ

use case ในโลกจริง

- การวิเคราะห์ทางวิศวกรรม: ใช้ในการคำนวณค่าแรงในโครงสร้าง - การคำนวณการเดินทาง: ในปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการวางแผนการขนส่ง - การทำโมเดลการเงิน: ในการคำนวณค่าใช้จ่ายและรายได้

 

ตัวอย่าง Code ภาษา COBOL

ด้านล่างคือโค้ด COBOL ที่แสดงถึงการใช้ Gaussian Elimination โดยทำการคำนวณค่าตัวแปรจากระบบสมการเชิงเส้น:

        IDENTIFICATION DIVISION.
       PROGRAM-ID. GaussianElimination.
       DATA DIVISION.
       WORKING-STORAGE SECTION.
       01  Matrix.
           05  A    OCCURS 3 TIMES
               10  Row OCCURS 3 TIMES
                   15  Element  PIC 9(3) VALUE 0.
       01  X    PIC 9(3) VALUE 0.
       01  Y    PIC 9(3) VALUE 0.
       01  Z    PIC 9(3) VALUE 0.
       01  I    PIC 9(1) VALUE 0.
       01  J    PIC 9(1) VALUE 0.
       01  Sum  PIC 9(3) VALUE 0.

       PROCEDURE DIVISION.
       MAIN-PROCEDURE.
           MOVE 2 TO A(1,1) A(1,2) A(1,3) A(1,4).
           MOVE 4 TO A(2,1) A(2,2) A(2,3) A(2,4).
           MOVE 6 TO A(3,1) A(3,2) A(3,3) A(3,4).

           PERFORM FORWARD-ELIMINATION
           PERFORM BACK-SUBSTITUTION

           DISPLAY 'X = ' X
           DISPLAY 'Y = ' Y
           DISPLAY 'Z = ' Z
           STOP RUN.

       FORWARD-ELIMINATION.
           PERFORM VARYING I FROM 1 BY 1 UNTIL I > 3
               PERFORM VARYING J FROM I + 1 BY 1 UNTIL J > 3
                   COMPUTE A(J,4) = A(J,4) - (A(J,I) / A(I,I) * A(I,4))
               END-PERFORM
           END-PERFORM.

       BACK-SUBSTITUTION.
           COMPUTE Z = A(3,4) / A(3,3).
           COMPUTE Y = (A(2,4) - A(2,3) * Z) / A(2,2).
           COMPUTE X = (A(1,4) - A(1,2) * Y - A(1,3) * Z) / A(1,1).

 

การวิเคราะห์ Complexity

- เวลา (Time Complexity): Gaussian Elimination มี Time Complexity เท่ากับ O(n^3) ที่ n คือจำนวนตัวแปรในระบบสมการ - พื้นที่ (Space Complexity): Space Complexity เท่ากับ O(n^2) สำหรับการเก็บข้อมูลในรูปแบบของแมทริกซ์

ข้อดีของ Gaussian Elimination

1. ความแม่นยำ: สามารถให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำและเชื่อถือได้ 2. สามารถแก้ได้หลายรูปแบบ: ใช้ได้กับสมการเชิงเส้นหลายรูปแบบ 3. ใช้งานง่าย: ทำความเข้าใจได้ไม่ยากเมื่อเปรียบเทียบกับอัลกอริธึมอื่นๆ

ข้อเสียของ Gaussian Elimination

1. Complexity ที่สูง: แสดงให้เห็นความช้าเมื่อ n มีค่ามาก 2. การสูญเสียความแม่นยำ: ในกรณีที่มีตัวเลขใกล้เคียงกันมาก 3. ไม่เหมาะสำหรับระบบที่มีตัวแปรมาก: เนื่องจากคำสั่งมากจนอาจทำให้ระบบช้าลง

 

สรุป

Gaussian Elimination เป็นอัลกอริธึมที่มีประโยชน์ในการแก้ปัญหาสมการเชิงเส้นขนาดใหญ่ ถึงแม้ว่าจะมีข้อดีและข้อเสีย แต่การใช้โค้ด COBOL ในการดำเนินการก็สามารถทำให้เข้าใจการใช้จริงได้ นอกจากนี้ หากเพื่อนๆ ต้องการเรียนรู้ลึกซึ้งเกี่ยวกับการเขียนโค้ดและอัลกอริธึม สามารถมาศึกษาต่อที่ EPT (Expert-Programming-Tutor) ที่จะช่วยให้ทุกคนพัฒนาความสามารถในการเขียนโปรแกรมได้อย่างมีประสิทธิภาพ!

หวังว่าบทความนี้จะช่วยให้ทุกคนเข้าใจ Gaussian Elimination ได้ดีขึ้น และกระตุ้นให้ทุกคนเริ่มต้นศึกษาพัฒนาทักษะด้านการเขียนโปรแกรมอย่างจริงจัง!

 

 

หมายเหตุ: ข้อมูลในบทความนี้อาจจะผิด โปรดตรวจสอบความถูกต้องของบทความอีกครั้งหนึ่ง บทความนี้ไม่สามารถนำไปใช้อ้างอิงใด ๆ ได้ ทาง EPT ไม่ขอยืนยันความถูกต้อง และไม่ขอรับผิดชอบต่อความเสียหายใดที่เกิดจากบทความชุดนี้ทั้งทางทรัพย์สิน ร่างกาย หรือจิตใจของผู้อ่านและผู้เกี่ยวข้อง