Gaussian Elimination: การใช้โปรแกรมเพื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้น

 

การเขียนโปรแกรมเพื่อแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์เป็นหนึ่งในพื้นฐานที่สำคัญสำหรับนักพัฒนา ในบทความนี้เราจะมาดูกันว่า Gaussian Elimination คืออะไร ทำงานอย่างไร ใช้แก้ปัญหาใดในโลกจริง และจะเขียนตัวอย่างโค้ดด้วยภาษา Swift เพื่อให้เห็นการใช้งานจริงของมัน โดยเราจะลงลึกเข้าไปในรายละเอียด ที่สำคัญจะมีการวิเคราะห์ complexity และยกตัวอย่างข้อดีข้อเสียของ Algorithm นี้ในตอนท้าย

 

Gaussian Elimination คืออะไร

Gaussian elimination หรือที่เรียกว่า method of elimination เป็นอัลกอริธึมที่ใช้สำหรับการหาค่าของตัวแปรในระบบสมการเชิงเส้น (Linear Equations) โดยอัลกอริธึมนี้จะทำการแปลงระบบสมการให้กลายเป็นรูปแบบที่ง่ายขึ้น จนสามารถหาค่าตัวแปรได้อย่างง่ายดาย ระบบสมการเชิงเส้นคือกลุ่มของสมการที่ตัวแปรต่างๆ มีพลังสุทธิเป็นหนึ่ง เราสามารถเขียนระบบนี้เป็นแถวของเมทริกซ์ได้

ตัวอย่างของระบบสมการเชิงเส้น

สมมุติว่าเรามีระบบสมการเชิงเส้น 3 สมการ 3 ตัวแปร:

1. \( x + 2y + 3z = 9 \)

2. \( 2x + y + 3z = 8 \)

3. \( 3x + 2y + z = 7 \)

เราต้องการหาค่าตัวแปร \(x\), \(y\), และ \(z\) ที่ทำให้สมการเหล่านั้นเป็นจริง

 

วิธีการทำงานของ Gaussian Elimination

อัลกอริธึม Gaussian Elimination จะประกอบไปด้วย 3 ขั้นตอนหลัก:

1. Forward Elimination: แปลงระบบสมการให้เป็นรูปแบบขั้นบันได (Row Echelon Form) 2. Back Substitution: แก้สมการด้วยการแทนค่าตัวแปรจากสมการสุดท้ายไปยังสมการแรก 3. การรับประกันว่ามีคำตอบหรือไม่: ตรวจสอบดูว่ามีคำตอบที่แน่นอนหรือไม่

ใช้ภาษา Swift ในการเขียน Gaussian Elimination

มาดูกันว่าเราจะสามารถเขียนโค้ดสำหรับ Gaussian Elimination โดยใช้ภาษา Swift ได้อย่างไร ง่ายๆ โดยการสร้างฟังก์ชันหลัก ตัวอย่างด้านล่างนี้จะแสดงให้เห็นถึงการใช้ฟังก์ชันในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่เราได้ยกตัวอย่างไว้ข้างต้น

 import Foundation

func gaussianElimination(_ matrix: inout [[Double]]) -> [Double]? {
    let n = matrix.count

    // Forward Elimination
    for i in 0..<n {
        // Make the diagonal contain all 1s
        var pivot = matrix[i][i]
        if pivot == 0 {
            // Cannot perform operation, determine if system has no solution.
            return nil
        }

        for j in i..<n + 1 {
            matrix[i][j] /= pivot
        }

        // Eliminate the variable in the below rows
        for j in i + 1..<n {
            let factor = matrix[j][i]
            for k in i..<n + 1 {
                matrix[j][k] -= factor * matrix[i][k]
            }
        }
    }

    // Back Substitution
    var result = Array(repeating: 0.0, count: n)
    for i in (0..<n).reversed() {
        result[i] = matrix[i][n]
        for j in (i + 1..<n) {
            result[i] -= matrix[i][j] * result[j]
        }
    }

    return result
}

// Example use case
var matrix = [
    [1.0, 2.0, 3.0, 9.0],
    [2.0, 1.0, 3.0, 8.0],
    [3.0, 2.0, 1.0, 7.0]
]

if let solution = gaussianElimination(&matrix) {
    print("The solution is: \(solution)")
} else {
    print("No unique solution exists.")
}

Use Case ในโลกจริง

Gaussian Elimination ถูกใช้ในหลายแวดวง เช่น

1. วิศวกรรม: ในการวิเคราะห์โครงสร้าง 2. ฟิสิกส์: ในการแก้ระบบสมการที่เกิดจากการทดลอง 3. การเงิน: ในการวิเคราะห์ข้อมูลทางการเงินและการลงทุน

ตัวอย่างในการวิศวกรรมไฟฟ้า เราอาจใช้ Gaussian Elimination ในการคำนวณแรงดันไฟฟ้าภายในวงจรไฟฟ้า หลายจุดที่มีการเชื่อมโยงกัน

Complexity Analysis

1. Time Complexity: Gaussian Elimination มี time complexity ประมาณ \(O(n^3)\) โดยที่ \(n\) คือจำนวนสมการในระบบ เนื่องจากในขั้นตอนของการทำ Elimination และการแทนค่าตัวแปรที่ทำให้เกิดการคำนวณซ้ำซ้อนกัน 2. Space Complexity: Space complexity ของ Gaussian Elimination จะอยู่ที่ \(O(n^2)\) สำหรับเมทริกซ์ที่ถูกเก็บไว้ในหน่วยความจำ

ข้อดีและข้อเสียของ Gaussian Elimination

ข้อดี

:

- มีประสิทธิภาพในการจัดการกับระบบสมการเชิงเส้นโดยตรง

- ง่ายต่อการเข้าใจและการประยุกต์ใช้งาน

ข้อเสีย

:

- ประสิทธิภาพลดลงเมื่อจำนวนสมการเพิ่มขึ้น

- หากมีการป้อนค่าผิด (เช่น ค่าเป็นศูนย์ในดิแอกนอล) จะทำให้เกิดปัญหา

 

สรุป

Gaussian Elimination เป็นหนึ่งในวิธีที่มีประสิทธิภาพในการแก้ปัญหาระบบสมการเชิงเส้นที่มีการประยุกต์ใช้ในหลายสาขา ตั้งแต่วิศวกรรม ไปจนถึงฟิสิกส์และการเงิน การเรียนรู้วิธีการเขียนโปรแกรมนี้ไม่เพียงแต่จะช่วยให้คุณพัฒนาความรู้ทางคณิตศาสตร์ แต่ยังเป็นก้าวแรกในการศึกษาการเขียนโปรแกรม โดยเฉพาะที่ EPT (Expert-Programming-Tutor) ซึ่งจะมอบความรู้และทักษะที่จำเป็นในการพัฒนาแนวทางการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ของคุณ

มาร่วมพัฒนาเส้นทางการเขียนโปรแกรมไปด้วยกันที่ EPT วันนี้นะครับ! 🌟

 

 

หมายเหตุ: ข้อมูลในบทความนี้อาจจะผิด โปรดตรวจสอบความถูกต้องของบทความอีกครั้งหนึ่ง บทความนี้ไม่สามารถนำไปใช้อ้างอิงใด ๆ ได้ ทาง EPT ไม่ขอยืนยันความถูกต้อง และไม่ขอรับผิดชอบต่อความเสียหายใดที่เกิดจากบทความชุดนี้ทั้งทางทรัพย์สิน ร่างกาย หรือจิตใจของผู้อ่านและผู้เกี่ยวข้อง